A Holanda é o pais com a maior média de alturas do mundo, já a Bolívia é a penúltima menor altura. Em uma amostra com 21 holandeses (X) constatou-se uma média de 1,80 m e cujo o desvio padrão amostral de 0,35 m. Em uma amostra com 21 bolivianos ( Y ) constatou-se uma média
de 1,55 m e cujo o desvio padrão amostral de 0,37 m. Construa um Intervalo de Confiança com nível de 95 % para a diferença das médias das alturas populacionais considerando:
(b) As variâncias populacionais desconhecidas e diferentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre comparar as alturas médias de duas populações: holandeses e bolivianos. A gente vai usar Estatística, especificamente Intervalo de Confiança para a diferença das médias. Precisamos dos dados das duas amostras e lembrar que as variâncias são desconhecidas e diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os dados:
  • Amostra Holandesa (X):
    • Média, barX = 1,80 , m
    • Desvio padrão, sX = 0,35 , m
    • Tamanho da amostra, nX = 21
  • Amostra Boliviana (Y):
    • Média, barY = 1,55 , m
    • Desvio padrão, sY = 0,37 , m
    • Tamanho da amostra, nY = 21

Passo 3

Como as variâncias populacionais são desconhecidas e diferentes, usamos a fórmula do intervalo de confiança de duas médias com variâncias desiguais (Intervalo de Confiança de Welch). A fórmula é:
(barX - barY) pm talpha/2 times raizsX^2nX + sY^2nY

Passo 4

Vamos calcular a diferença das médias:
barX - barY = 1,80 - 1,55 = 0,25 , m

Passo 5

Agora, calculamos o erro padrão da diferença das médias:
raizsX^2nX + sY^2nY = raiz0,35^221 + 0,37^221 = raiz0,122521 + 0,136921 = raiz0,005833 + 0,006523 = raiz0,012356 approx 0,1111

Passo 6

Precisamos do valor crítico talpha/2. Com nível de confiança de 95%, alpha = 0,05. Para graus de liberdade, usamos a fórmula de Welch:
df = (sX^2nX + sY^2nY)^2(sX^2nX)^2nX - 1 + (sY^2nY)^2nY - 1
Calculando:
df = (0,005833 + 0,006523)^20,005833^220 + 0,006523^220 = 0,012356^20,0000340220 + 0,0000425820 = 0,000152990,000001701 + 0,000002129 approx 0,000152990,00000383 approx 39,93
Arredondamos para df = 40.
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, para df = 40 e alpha/2 = 0,025, o valor crítico t0,025 approx 2,021.

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
0,25 pm 2,021 times 0,1111
Calculando a margem de erro:
2,021 times 0,1111 approx 0,2247

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias das alturas é:
0,25 , m pm 0,2247 , m Rightarrow [0,0253 , m, , 0,4747 , m]

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X 1,68 1,70 1,65 1,60 1,62
Y 1,62 1,65 1,60 1,54 1,59
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de 1,55 m e cujo o desvio padrão amostral de 0,37 m. Construa um Intervalo de Confiança com nível de 95 % para a diferença das médias das alturas populacionais considerando:
(a) As variâncias populacionais desconhecidas e iguais.