Existe o termo de grau 3 na expansão de
? Em caso afirmativo, encontre seu coeficiente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está perguntando se existe um termo de grau 3 na expansão de
. Se existir, precisamos encontrar o coeficiente desse termo. Para isso, vamos usar o conceito de expansão binomial e multiplicação de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir cada uma das partes separadamente usando o Teorema do Binômio, que nos ajuda a expandir expressões do tipo
.
Expandindo
:
Expandindo
:
Passo 3
Agora que temos as duas expansões, vamos multiplicá-las para encontrar os termos resultantes:
Para encontrar um termo de grau 3, precisamos identificar quais combinações de termos nas duas expansões resultam em um expoente total de 3.
Passo 4
Vamos analisar as possíveis combinações:
-
Multiplicando
por algum termo: -
→ Grau 7 (não interessa) -
→ Grau 6 (não interessa) -
→ Grau 5 (não interessa) -
→ Grau 4 (não interessa)
-
-
Multiplicando
por algum termo: -
→ Grau 5 (não interessa) -
→ Grau 4 (não interessa) -
→ Grau 3 (interessante!) -
→ Grau 2 (não interessa)
-
-
Multiplicando
por algum termo: -
→ Grau 3 (interessante!) -
→ Grau 2 (não interessa) -
→ Grau 1 (não interessa) -
→ Grau 0 (não interessa)
-
Passo 5
Agora, juntando os termos de grau 3 que encontramos:
- De
, temos - De
, temos
Somando esses termos:
Resposta
Sim, existe um termo de grau 3 na expansão, e o coeficiente desse termo é 883.