Existe o termo de grau 3 na expansão de (3 x^2+1)^2 cdot(x-7)^3 ? Em caso afirmativo, encontre seu coeficiente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está perguntando se existe um termo de grau 3 na expansão de (3x^2 + 1)^2 cdot (x - 7)^3. Se existir, precisamos encontrar o coeficiente desse termo. Para isso, vamos usar o conceito de expansão binomial e multiplicação de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir cada uma das partes separadamente usando o Teorema do Binômio, que nos ajuda a expandir expressões do tipo (a + b)^n.
Expandindo (3x^2 + 1)^2:
(3x^2 + 1)^2 = (3x^2)^2 + 2 cdot 3x^2 cdot 1 + 1^2 = 9x^4 + 6x^2 + 1
Expandindo (x - 7)^3:
(x - 7)^3 = x^3 + 3x^2(-7) + 3x(-7)^2 + (-7)^3 = x^3 - 21x^2 + 147x - 343

Passo 3

Agora que temos as duas expansões, vamos multiplicá-las para encontrar os termos resultantes:
(9x^4 + 6x^2 + 1) cdot (x^3 - 21x^2 + 147x - 343)
Para encontrar um termo de grau 3, precisamos identificar quais combinações de termos nas duas expansões resultam em um expoente total de 3.

Passo 4

Vamos analisar as possíveis combinações:
  1. Multiplicando 9x^4 por algum termo:
    • 9x^4 cdot x^3 = 9x^7 → Grau 7 (não interessa)
    • 9x^4 cdot (-21x^2) = -189x^6 → Grau 6 (não interessa)
    • 9x^4 cdot 147x = 1323x^5 → Grau 5 (não interessa)
    • 9x^4 cdot (-343) = -3087x^4 → Grau 4 (não interessa)
  2. Multiplicando 6x^2 por algum termo:
    • 6x^2 cdot x^3 = 6x^5 → Grau 5 (não interessa)
    • 6x^2 cdot (-21x^2) = -126x^4 → Grau 4 (não interessa)
    • 6x^2 cdot 147x = 882x^3 → Grau 3 (interessante!)
    • 6x^2 cdot (-343) = -2058x^2 → Grau 2 (não interessa)
  3. Multiplicando 1 por algum termo:
    • 1 cdot x^3 = x^3 → Grau 3 (interessante!)
    • 1 cdot (-21x^2) = -21x^2 → Grau 2 (não interessa)
    • 1 cdot 147x = 147x → Grau 1 (não interessa)
    • 1 cdot (-343) = -343 → Grau 0 (não interessa)

Passo 5

Agora, juntando os termos de grau 3 que encontramos:
  • De 6x^2 cdot 147x, temos 882x^3
  • De 1 cdot x^3, temos x^3
Somando esses termos:
882x^3 + x^3 = 883x^3

Resposta

Sim, existe um termo de grau 3 na expansão, e o coeficiente desse termo é 883.

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