Duas turmas grandes (Turma 1 e Turma 2) fizeram uma mesma prova de múltipla escolha com 10 questões, e a distribuição percentual do número de acertos dos alunos segue na tabela abaixo.
Número de acertos | Turma 1 | Turma 2 |
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0 |
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1 |
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2 |
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3 |
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4 |
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5 |
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6 |
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7 |
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8 |
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9 |
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10 |
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Sejam as variáveis aleatórias
: número de acertos na prova de um aluno escolhido aleatoriamente da Turma 1 e
: número de acertos na prova de um aluno escolhido aleatoriamente da Turma 2. Qual destas duas variáveis apresenta maior variabilidade em torno do respectivo valor esperado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas turmas que fizeram a mesma prova com 10 questões de múltipla escolha. Cada turma tem uma distribuição porcentual de acertos que está na tabela. Nosso objetivo aqui é descobrir qual das duas turmas tem mais variabilidade nos acertos, ou seja, qual turma tem os resultados mais espalhados em torno da média. Para isso, vamos calcular a variância de cada turma, que é uma medida de quão distante os valores estão da média. Vamos precisar das fórmulas de média (valor esperado) e variância, além de transformar as porcentagens em probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média (valor esperado) dos acertos para a Turma 1. A média é calculada multiplicando cada número de acertos pela sua probabilidade e somando tudo. Como as porcentagens estão em %, a gente divide por 100 pra transformar em decimal.
Vamos fazer isso passo a passo:
Então, a média dos acertos na Turma 1 é 4,85.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor esperado do quadrado dos acertos para a Turma 1, que é necessário para encontrar a variância. A fórmula é:
Vamos calcular:
Então, $ E(X^2) = 26,10 $.
Passo 4
Com esses valores, podemos calcular a variância da Turma 1 usando a fórmula:
Substituindo:
Portanto, a variância da Turma 1 é aproximadamente 2,58.
Passo 5
Agora, vamos repetir o mesmo processo para a Turma 2. Primeiro, calculamos a média dos acertos:
Calculando:
Então, a média dos acertos na Turma 2 é 4,99.
Passo 6
Agora, calculamos $ E(Y^2) $:
Vamos calcular:
Então, $ E(Y^2) = 29,40 $.
Passo 7
Com esses valores, calculamos a variância da Turma 2:
Substituindo:
Portanto, a variância da Turma 2 é aproximadamente 4,50.
Passo 8
Agora, só comparar as variâncias das duas turmas:
- $ Var(X) \approx 2,58 $
- $ Var(Y) \approx 4,50 $
Como 4,50 é maior que 2,58, a Turma 2 tem maior variabilidade nos acertos.
Resposta
A variável $ Y $ (Turma 2) apresenta maior variabilidade em torno do respectivo valor esperado.