Duas turmas grandes (Turma 1 e Turma 2) fizeram uma mesma prova de múltipla escolha com 10 questões, e a distribuição percentual do número de acertos dos alunos segue na tabela abaixo.
Número de acertos Turma 1 Turma 2
0 1 % 4 %
1 2 % 5 %
2 3 % 6 %
3 4 % 7 %
4 5 % 8 %
5 70 % 40 %
6 5 % 8 %
7 4 % 7 %
8 3 % 6 %
9 2 % 5 %
10 1 % 4 %
Sejam as variáveis aleatórias X: número de acertos na prova de um aluno escolhido aleatoriamente da Turma 1 e Y: número de acertos na prova de um aluno escolhido aleatoriamente da Turma 2. Qual destas duas variáveis apresenta maior variabilidade em torno do respectivo valor esperado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas turmas que fizeram a mesma prova com 10 questões de múltipla escolha. Cada turma tem uma distribuição porcentual de acertos que está na tabela. Nosso objetivo aqui é descobrir qual das duas turmas tem mais variabilidade nos acertos, ou seja, qual turma tem os resultados mais espalhados em torno da média. Para isso, vamos calcular a variância de cada turma, que é uma medida de quão distante os valores estão da média. Vamos precisar das fórmulas de média (valor esperado) e variância, além de transformar as porcentagens em probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média (valor esperado) dos acertos para a Turma 1. A média é calculada multiplicando cada número de acertos pela sua probabilidade e somando tudo. Como as porcentagens estão em %, a gente divide por 100 pra transformar em decimal.
E(X) = sumx=0^10 x cdot P(X = x)
Vamos fazer isso passo a passo:
E(X) &= 0 cdot 0,01 + 1 cdot 0,02 + 2 cdot 0,03 + 3 cdot 0,04 + 4 cdot 0,05 & + 5 cdot 0,70 + 6 cdot 0,05 + 7 cdot 0,04 + 8 cdot 0,03 + 9 cdot 0,02 + 10 cdot 0,01 &= 0 + 0,02 + 0,06 + 0,12 + 0,25 + 3,50 + 0,30 + 0,28 + 0,24 + 0,18 + 0,10 &= 4,85
Então, a média dos acertos na Turma 1 é 4,85.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado do quadrado dos acertos para a Turma 1, que é necessário para encontrar a variância. A fórmula é:
E(X^2) = sumx=0^10 x^2 cdot P(X = x)
Vamos calcular:
E(X^2) &= 0^2 cdot 0,01 + 1^2 cdot 0,02 + 2^2 cdot 0,03 + 3^2 cdot 0,04 + 4^2 cdot 0,05 & + 5^2 cdot 0,70 + 6^2 cdot 0,05 + 7^2 cdot 0,04 + 8^2 cdot 0,03 + 9^2 cdot 0,02 + 10^2 cdot 0,01 &= 0 + 0,02 + 0,12 + 0,36 + 0,80 + 17,50 + 1,80 + 1,96 + 1,92 + 1,62 + 1,00 &= 26,10
Então, $ E(X^2) = 26,10 $.

Passo 4

Com esses valores, podemos calcular a variância da Turma 1 usando a fórmula:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Substituindo:
Var(X) = 26,10 - (4,85)^2 = 26,10 - 23,5225 = 2,5775
Portanto, a variância da Turma 1 é aproximadamente 2,58.

Passo 5

Agora, vamos repetir o mesmo processo para a Turma 2. Primeiro, calculamos a média dos acertos:
E(Y) = sumy=0^10 y cdot P(Y = y)
Calculando:
E(Y) &= 0 cdot 0,04 + 1 cdot 0,05 + 2 cdot 0,06 + 3 cdot 0,07 + 4 cdot 0,08 & + 5 cdot 0,40 + 6 cdot 0,08 + 7 cdot 0,07 + 8 cdot 0,06 + 9 cdot 0,05 + 10 cdot 0,04 &= 0 + 0,05 + 0,12 + 0,21 + 0,32 + 2,00 + 0,48 + 0,49 + 0,48 + 0,45 + 0,40 &= 4,99
Então, a média dos acertos na Turma 2 é 4,99.

Passo 6

Agora, calculamos $ E(Y^2) $:
E(Y^2)
Vamos calcular:
E(Y^2) = sumy=0^10 y^2 cdot P(Y = y)
Então, $ E(Y^2) = 29,40 $.

Passo 7

Com esses valores, calculamos a variância da Turma 2:
Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2
Substituindo:
Var(Y) = 29,40 - (4,99)^2 = 29,40 - 24,9001 = 4,4999
Portanto, a variância da Turma 2 é aproximadamente 4,50.

Passo 8

Agora, só comparar as variâncias das duas turmas:
  • $ Var(X) \approx 2,58 $
  • $ Var(Y) \approx 4,50 $
Como 4,50 é maior que 2,58, a Turma 2 tem maior variabilidade nos acertos.

Resposta

A variável $ Y $ (Turma 2) apresenta maior variabilidade em torno do respectivo valor esperado.

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