(a) Existem dois vetores não nulos que geram R^3 ?

Passo 1

Vamos lá! A questão pergunta se existem dois vetores não nulos que conseguem gerar o espaço tridimensional R^3. Aqui, estamos lidando com vetores e o conceito de geração de espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa gerar um espaço vetorial. Quando dizemos que alguns vetores geram um espaço, significa que qualquer vetor nesse espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, usando multiplicações por escalares e somas desses vetores, conseguimos alcançar qualquer ponto no espaço.

Passo 3

No caso do espaço R^3, ele é tridimensional, o que significa que precisamos de um conjunto mínimo de vetores linearmente independentes para gerá-lo completamente. Linearmente independentes são vetores que não podem ser obtidos um a partir do outro por meio de multiplicação por um escalar.

Passo 4

Sabemos que em R^3, o conjunto mínimo de vetores necessários para gerar todo o espaço é de três vetores. Isso porque cada dimensão do espaço requer um vetor independente para “cobrir” aquela direção.

Passo 5

Agora, se tentarmos usar apenas dois vetores não nulos, mesmo que sejam independentes, eles vão gerar apenas um plano dentro de R^3, e não todo o espaço. Isso acontece porque com dois vetores, só conseguimos cobrir duas dimensões.

Resposta

Portanto, não existem dois vetores não nulos que geram todo o espaço R^3. É necessário ter pelo menos três vetores não nulos e linearmente independentes para gerar o espaço tridimensional.

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