Expanda a função dada em uma série de taylor centrada no ponto
indicado:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa expandir a função
em uma série de Taylor centrada no ponto
. Isso envolve usar a teoria das séries de Taylor, que nos permite aproximar funções por somas infinitas de termos polinomiais.
Passo 2
Primeiro, lembramos a fórmula geral da série de Taylor para uma função
centrada em
:
Mas, para facilitar, vamos reescrever
de uma forma que a gente possa usar uma série geométrica.
Passo 3
Vamos reescrever
em termos de
. Observamos que:
onde
.
Passo 4
Sabemos que a série geométrica para
é:
Isso vale para
, ou seja,
.
Passo 5
Substituindo
na série, temos:
Essa é a expansão em série de Taylor de
centrada em
.
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
Exercícios relacionados
Efetue os produtos (simplifique antes, se possível).
Expanda a função dada em uma série de Maclaurin e calcule o raio de convergência:
Ache os quocientes.
Determine as potências.