Expanda a função dada em uma série de taylor centrada no ponto z0 indicado: f(z) = 1/z, z0 = 1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa expandir a função em uma série de Taylor centrada no ponto . Isso envolve usar a teoria das séries de Taylor, que nos permite aproximar funções por somas infinitas de termos polinomiais.

Passo 2

Primeiro, lembramos a fórmula geral da série de Taylor para uma função centrada em :
Mas, para facilitar, vamos reescrever de uma forma que a gente possa usar uma série geométrica.

Passo 3

Vamos reescrever em termos de . Observamos que:
onde .

Passo 4

Sabemos que a série geométrica para é:
Isso vale para , ou seja, .

Passo 5

Substituindo na série, temos:
Essa é a expansão em série de Taylor de centrada em .

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:

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