Expanda a função dada em uma série de Maclaurin e calcule o raio de convergência:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para expandir a função em uma série de Maclaurin e calcular o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries de Maclaurin, que são expansões em séries de potências centradas em zero, e sobre a determinação do raio de convergência, que indica até onde a série se aproxima da função original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin para a função seno. A série de Maclaurin para é dada por:
Isso significa que podemos substituir por na série para obter a série de Maclaurin para .
Passo 3
Vamos substituir por na série de Maclaurin do seno:
Agora, vamos simplificar a expressão:
Passo 4
Então, a série de Maclaurin para é:
Ou de forma geral:
Passo 5
Agora, vamos calcular o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.
O Teste da Razão diz que, para uma série , se:
Então, a série converge se .
Passo 6
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos :
Agora, calculamos :
Simplificando:
Passo 7
Agora, calculamos a razão :
Simplificando os termos:
Passo 8
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Passo 9
Como o limite é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de .