Expanda a função dada em uma série de Maclaurin e calcule o raio de convergência:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para expandir a função em uma série de Maclaurin e calcular o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries de Maclaurin, que são expansões em séries de potências centradas em zero, e sobre a determinação do raio de convergência, que indica até onde a série se aproxima da função original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin para a função seno. A série de Maclaurin para é dada por:
Isso significa que podemos substituir por na série para obter a série de Maclaurin para .

Passo 3

Vamos substituir por na série de Maclaurin do seno:
Agora, vamos simplificar a expressão:

Passo 4

Então, a série de Maclaurin para é:
Ou de forma geral:

Passo 5

Agora, vamos calcular o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.
O Teste da Razão diz que, para uma série , se:
Então, a série converge se .

Passo 6

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos :
Agora, calculamos :
Simplificando:

Passo 7

Agora, calculamos a razão :
Simplificando os termos:

Passo 8

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 9

Como o limite é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de .
Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série de Maclaurin para é
e o raio de convergência dessa série é infinito.

Exercícios relacionados

Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
.
Expanda a função dada em uma série de taylor centrada no ponto indicado:
Efetue os produtos (simplifique antes, se possível).
Expanda a função dada em uma série de taylor centrada no ponto indicado: