Expanda em série de Fourier de senos e cossenos as funções a seguir. Nota-se que estas expressões representam as funções periódicas em um único período.
c) f(t)=t, para -pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(t) = t $ definida no intervalo de f(t) = t a -pi. O que a gente precisa fazer é expandir essa função em uma série de Fourier usando senos e cossenos. Isso significa que vamos representar essa função periódica como uma soma infinita de termos envolvendo senos e cossenos com múltiplos de pi. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier e aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função $ f(t) $ no intervalo f(t) a -pi é dada por:
pi
Aqui, $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $ são os coeficientes de Fourier que precisamos determinar. Vamos calcular cada um deles.

Passo 3

Começamos calculando o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função no intervalo. A fórmula é:
a0
Substituindo $ f(t) = t $:
a0 = 1pi integral-pi^pi f(t) , dt
Ao resolver essa integral, percebemos que a função $ t $ é uma função ímpar (ou seja, $ f(-t) = -f(t) $), e a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto, $ a_0 = 0 $.

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $, que multiplicam os cossenos na série de Fourier. A fórmula para $ a_n $ é:
an
Substituindo $ f(t) = t $:
an
Novamente, percebemos que $ t $ é ímpar e $ \cos(n t) $ é par (ou seja, $ \cos(-n t) = \cos(n t) $). O produto de uma função ímpar e uma par é uma função ímpar. A integral de uma função ímpar sobre an = 1pi integral-pi^pi f(t) cos(n t) , dt a f(t) = t é zero. Portanto, todos os $ a_n = 0 $.

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $, que multiplicam os senos na série de Fourier. A fórmula para $ b_n $ é:
bn
Substituindo $ f(t) = t $:
bn
Aqui, $ t $ é ímpar e $ \sin(n t) $ também é ímpar. O produto de duas funções ímpares é uma função par, e a integral de uma função par sobre bn = 1pi integral-pi^pi f(t) sin(n t) , dt a f(t) = t é duas vezes a integral de bn = 1pi integral-pi^pi t sin(n t) , dt a t . Então:
sin(n t)
Vamos resolver essa integral usando a técnica de integração por partes.

Passo 6

Aplicando integração por partes onde $ u = t $ e $ dv = \sin(n t) dt $:
u = t
Então,
dv = sin(n t) dt
Agora, avaliamos de du = dt v = -1n cos(n t) a integral t sin(n t) dt = -t cos(n t)n + 1n integral cos(n t) dt = -t cos(n t)n + sin(n t)n^2 :
0
Porque $ \cos(n \pi) = (-1)^n $ e $ \sin(n \pi) = 0 $.

Passo 7

Substituindo de volta no $ b_n $:
bn

Resposta

A expansão em série de Fourier de $ f(t) = t $ no intervalo f(t) = t é:
-pi < t < pi

Exercícios relacionados