Expanda em série de Fourier de senos e cossenos as funções a seguir. Nota-se que estas expressões representam as funções periódicas em um único período.
c)
, para
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(t) = t $ definida no intervalo de
a
. O que a gente precisa fazer é expandir essa função em uma série de Fourier usando senos e cossenos. Isso significa que vamos representar essa função periódica como uma soma infinita de termos envolvendo senos e cossenos com múltiplos de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier e aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função $ f(t) $ no intervalo
a
é dada por:
Aqui, $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $ são os coeficientes de Fourier que precisamos determinar. Vamos calcular cada um deles.
Passo 3
Começamos calculando o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função no intervalo. A fórmula é:
Substituindo $ f(t) = t $:
Ao resolver essa integral, percebemos que a função $ t $ é uma função ímpar (ou seja, $ f(-t) = -f(t) $), e a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto, $ a_0 = 0 $.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $, que multiplicam os cossenos na série de Fourier. A fórmula para $ a_n $ é:
Substituindo $ f(t) = t $:
Novamente, percebemos que $ t $ é ímpar e $ \cos(n t) $ é par (ou seja, $ \cos(-n t) = \cos(n t) $). O produto de uma função ímpar e uma par é uma função ímpar. A integral de uma função ímpar sobre
a
é zero. Portanto, todos os $ a_n = 0 $.
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $, que multiplicam os senos na série de Fourier. A fórmula para $ b_n $ é:
Substituindo $ f(t) = t $:
Aqui, $ t $ é ímpar e $ \sin(n t) $ também é ímpar. O produto de duas funções ímpares é uma função par, e a integral de uma função par sobre
a
é duas vezes a integral de
a
. Então:
Vamos resolver essa integral usando a técnica de integração por partes.
Passo 6
Aplicando integração por partes onde $ u = t $ e $ dv = \sin(n t) dt $:
Então,
Agora, avaliamos de
a
:
Porque $ \cos(n \pi) = (-1)^n $ e $ \sin(n \pi) = 0 $.
Passo 7
Substituindo de volta no $ b_n $:
Resposta
A expansão em série de Fourier de $ f(t) = t $ no intervalo
é: