Expande-se 1,00 mol de um gás monoatômico ideal inicialmente a 5,00 kPa e 600 K do volume inicial Vi=2,8 m^3 para o volume final Vf=6,9 m^3. Em qualquer instante durante a expansão, a pressão p e o volume V do gás estão relacionados por p=5,00 exp [(Vi-V) / a], com p em k P a, Vi e V em m^3, e a=1,00 m^3. Qual é o trabalho, em KJ , realizado pelo gás durante a expansão?
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é calcular o trabalho que um gás monoatômico ideal faz quando se expande. A gente vai usar conceitos de termodinâmica, especificamente a fórmula para o trabalho em processos de expansão ou compressão de gases. Vamos precisar integrar a pressão em função do volume para achar o trabalho total realizado durante a expansão.

Passo 2

Primeiro, lembra que o trabalho W = integralVi^Vf p , dV feito por um gás durante uma expansão ou compressão é dado pela integral da pressão em função do volume :
Ou seja, a gente precisa integrar a função da pressão desde o volume inicial até o volume final .

Passo 3

A questão nos dá a relação entre pressão e volume durante a expansão:
p = 5,00 exp(Vi - Va)
Onde W = integral2,8^6,9 5,00 exp(2,8 - V1,00) dV . Vamos substituir essa expressão na fórmula do trabalho:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. Primeiro, simplificamos a expressão no expoente:
2,8 - V1,00 = 2,8 - V
Então, a integral fica:
W = 5,00 integral2,8^6,9 exp(2,8 - V) , dV
Fazendo uma substituição para facilitar, seja W = -5,00 integral0^-4,1 exp(u) , du = 5,00 integral-4,1^0 exp(u) , du , então W = 5,00 [ exp(0) - exp(-4,1) ] . Isso transforma a integral em:
A integral de é simplesmente , então:

Passo 5

Calculando os valores das exponenciais:
exp(0) = 1
exp(-4,1) approx 0,0166
Substituindo na expressão do trabalho:
W = 5,00 (1 - 0,0166) = 5,00 times 0,9834 = 4,917 , kJ

Resposta

O trabalho realizado pelo gás durante a expansão é aproximadamente .

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