Depois da expansão, identifique o termo que dá a contribuição de dipolo e mostre que esse termo pode ser escrito como
Vdip(r)=14 pi epsilon0 p cdot rr^2

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício que fala sobre expansão multipolar na eletrostática. O objetivo aqui é identificar o termo que representa a contribuição do dipolo na expansão do potencial elétrico e mostrar que esse termo pode ser escrito como:
Vdip(r)=14 pi epsilon0 p cdot rr^2
Para resolver isso, a gente vai precisar entender como fazer a expansão do potencial de Coulomb em termos de multipolos e, especificamente, focar na parte do dipolo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a expressão do potencial elétrico devido a uma carga pontual. O potencial V(r) = 14 pi epsilon0 qr em um ponto causado por uma carga localizada na origem é dado por:
Onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a distância do ponto onde estamos calculando o potencial até a carga,
  • é o vetor posição.

Passo 3

Agora, se a gente tiver não só uma carga, mas uma distribuição de cargas, a expansão multipolar nos ajuda a expressar o potencial total como uma soma de termos de diferentes ordens: monopolo, dipolo, quadrupolo, etc.
O termo monopolar já está dado pela expressão que vimos. O próximo termo na expansão é o dipolar, que é o foco do nosso exercício. O potencial do dipolo é dado por:
Vdip(r)=14 pi epsilon0 p cdot rr^2
Onde p = q d é o momento de dipolo elétrico definido por:
com sendo a carga e o vetor separação das cargas positivas e negativas.

Passo 4

Para identificar esse termo na expansão, vamos considerar uma distribuição de dipolo simples: duas cargas de magnitudes iguais e opostas, separadas por um vetor V(r) = 14 pi epsilon0 ( q|r - d/2| - q|r + d/2| ) . O potencial total nesse caso é a soma dos potenciais das duas cargas:
V(r) approx 14 pi epsilon0 ( p cdot rr^2 )
Expandindo essa expressão para (ou seja, considerando que a distância é muito maior que a separação das cargas ), podemos usar a série de Taylor e aproximar o potencial como:
Onde acabamos de isolar o termo do dipolo.

Resposta

Portanto, o termo que dá a contribuição de dipolo na expansão do potencial elétrico é:
Vdip(r)=14 pi epsilon0 p cdot rr^2

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