Depois da expansão, identifique o termo que dá a contribuição de dipolo e mostre que esse termo pode ser escrito como
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício que fala sobre expansão multipolar na eletrostática. O objetivo aqui é identificar o termo que representa a contribuição do dipolo na expansão do potencial elétrico e mostrar que esse termo pode ser escrito como:
Para resolver isso, a gente vai precisar entender como fazer a expansão do potencial de Coulomb em termos de multipolos e, especificamente, focar na parte do dipolo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a expressão do potencial elétrico devido a uma carga pontual. O potencial
em um ponto
causado por uma carga
localizada na origem é dado por:
Onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é a distância do ponto onde estamos calculando o potencial até a carga, -
é o vetor posição.
Passo 3
Agora, se a gente tiver não só uma carga, mas uma distribuição de cargas, a expansão multipolar nos ajuda a expressar o potencial total como uma soma de termos de diferentes ordens: monopolo, dipolo, quadrupolo, etc.
O termo monopolar já está dado pela expressão que vimos. O próximo termo na expansão é o dipolar, que é o foco do nosso exercício. O potencial do dipolo é dado por:
Onde
é o momento de dipolo elétrico definido por:
com
sendo a carga e
o vetor separação das cargas positivas e negativas.
Passo 4
Para identificar esse termo na expansão, vamos considerar uma distribuição de dipolo simples: duas cargas de magnitudes iguais e opostas, separadas por um vetor
. O potencial total nesse caso é a soma dos potenciais das duas cargas:
Expandindo essa expressão para
(ou seja, considerando que a distância
é muito maior que a separação das cargas
), podemos usar a série de Taylor e aproximar o potencial como:
Onde acabamos de isolar o termo do dipolo.
Resposta
Portanto, o termo que dá a contribuição de dipolo na expansão do potencial elétrico é: