Um fluido incompressivel escoa em regime permanente na região de entrada de um canal bidimensional de altura 2 h=100 mm e largura w=25 mm. A vazão é Q=0,025 m^3 / s. Encontre a velocidade uniforme U1 na entrada. A distribuição de velocidades em uma seção a jusante é
uumax =1-(yh)^2
Avalie a velocidade máxima na seção a jusante. Calcule a queda de pressão que existiria no canal, se o atrito viscoso nas paredes fosse desprezível.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um fluido incompressível que flui de forma constante (regime permanente) em um canal bidimensional com altura total de uumax = 1 - (yh)^2 e largura . A vazão do fluido é . Precisamos encontrar a velocidade uniforme na entrada do canal. Além disso, temos uma distribuição de velocidades na seção a jusante dada por:
Vamos também calcular a velocidade máxima nessa seção e a queda de pressão no canal, assumindo que o atrito viscoso nas paredes é desprezível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade de fluxo e equações de movimento para fluidos incompressíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade uniforme Q = A cdot U na entrada. A vazão A = 2h cdot w é relacionada à área da seção transversal 2h = 100 , mm = 0,1 , m, w = 25 , mm = 0,025 , m e à velocidade média A = 0,1 , m times 0,025 , m = 0,0025 , m^2 pela equação:
U1 = QA = 0,025 , m^3/s0,0025 , m^2 = 10 , m/s
Como o fluxo é uniforme na entrada, a velocidade média é igual à velocidade uniforme . A área da seção transversal pode ser calculada multiplicando a altura pela largura :
Vamos converter as unidades para metros:
Então:
Agora, usamos a equação da vazão para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos avaliar a velocidade máxima uumax = 1 - (yh)^2 na seção a jusante. A distribuição de velocidade é dada por:
Q = integral-h^h u(y) cdot w , dy
Para encontrar Q = integral-h^h [ umax (1 - (yh)^2 ) ] w , dy , precisamos considerar que a vazão é constante ao longo do canal. A vazão na seção a jusante pode ser obtida integrando a distribuição de velocidades sobre a área da seção.
A área da seção a jusante é a mesma da entrada, Q = 2w umax integral0^h (1 - (yh)^2 ) dy . A vazão na seção a jusante é:
integral0^h (1 - (yh)^2 ) dy = [ y - y^33h^2 ]0^h = h - h^33h^2 = h - h3 = 2h3
Substituindo a distribuição de velocidades:
Q = 2w umax cdot 2h3 = 43 w h umax
Como a função é par, podemos simplificar:
umax = 3Q4 w h
Efetuando a integração:
umax = 3 times 0,0254 times 0,025 times 0,05 = 0,0750,005 = 15 , m/s
Então:
Resolvendo para :
Substituindo os valores:

Passo 4

Por último, vamos calcular a queda de pressão no canal, assumindo que o atrito viscoso nas paredes é desprezível. Para fluxo incompressível e sem atrito, podemos aplicar a equação de Bernoulli entre a entrada e a seção a jusante:
P1 + 12 rho U1^2 = P2 + 12 rho umax^2
Onde:
  • De e De são as pressões na entrada e na seção a jusante, respectivamente.
  • De é a densidade do fluido.
A queda de pressão será então:
Substituindo os valores encontrados:
Sem o valor da densidade , a queda de pressão é expressa em termos de :

Resposta

A velocidade uniforme na entrada é , a velocidade máxima na seção a jusante é e a queda de pressão no canal é .

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