Um experimento computacional foi repetido 40 vezes. O sistema A mos-trou-se superior ao sistema B em 24 das 40 repetições. Há evidência suficiente para dizer que os sistemas têm desempenhos diferentes? Use alpha=5 %.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um experimento que foi repetido 40 vezes, onde o sistema A se saiu melhor que o sistema B em 24 dessas tentativas. A pergunta é: Existe evidência suficiente para afirmar que os sistemas têm desempenhos diferentes? Vamos resolver isso usando a estatística, mais especificamente um teste de hipótese para proporções, com um nível de significância de 5% (α = 5%).

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. No teste de hipótese, temos duas hipóteses principais:
  • Hipótese Nula (H₀): Os sistemas têm desempenhos iguais. Matemáticamente, isso significa que a proporção de vezes que o sistema A é melhor que o B é 0,5.
    H₀: p = 0,5
  • Hipótese Alternativa (H₁): Os sistemas têm desempenhos diferentes. Ou seja, a proporção não é igual a 0,5.
    H₁: p neq 0,5

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada de vezes que o sistema A foi superior ao B. Com 24 vitórias em 40 tentativas:
p = 2440 = 0,6

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. O erro padrão nos ajuda a entender a variabilidade da proporção observada se a hipótese nula for verdadeira.
Erro Padrão = raizp0 (1 - p0)n = raiz0,5 times 0,540 = raiz0,2540 = raiz0,00625 approx 0,07906 ã

Passo 5

Agora, calculamos o estatístico de teste z, que nos diz quantos desvios padrões a proporção observada está da proporção esperada sob a hipótese nula.
z = p - p0Erro Padrão = 0,6 - 0,50,07906 approx 0,10,07906 approx 1,2649 ã

Passo 6

Para decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula, comparamos o valor de z com os valores críticos para um teste bilateral com α = 5%. Os valores críticos para um teste bilateral nesse nível de significância são aproximadamente -1,96 e 1,96.

Passo 7

No nosso caso, o valor calculado de z ≈ 1,2649 está dentro do intervalo de -1,96 a 1,96. Isso significa que não há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Não há evidência suficiente para afirmar que os sistemas têm desempenhos diferentes ao nível de significância de 5 %.

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