Com o objetivo de verificar se uma moeda está viciada, decide-se lançá-la várias vezes de forma imparcial e sempre sob as mesmas condições.
Se em 80 lançamentos obtiverem-se 20 caras (e 60 coroas), qual é a conclusão ao nível de significância de 5%?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente quer saber se uma moeda é viciada, ou seja, se ela não tem a mesma chance de cair cara ou coroa. Para isso, vamos lançar a moeda 80 vezes e ver quantas vezes sai cara. No caso, saíram 20 caras e 60 coroas. Vamos usar estatística, mais especificamente o teste de hipóteses para proporções, para resolver isso. Precisaremos calcular a proporção observada de caras, comparar com a proporção esperada se a moeda fosse justa (50%) e verificar se a diferença é estatisticamente significativa ao nível de 5%.

Passo 2

Primeiro, definimos as hipóteses:
  • Hipótese Nula ( H0): A moeda é justa, ou seja, a probabilidade de dar cara ( p) é 0,5.
  • Hipótese Alternativa ( Ha): A moeda não é justa, ou seja, p neq 0,5.

Passo 3

Calculamos a proporção observada de caras:
p = número de carastotal de lançamentos = 2080 = 0,25 úç

Passo 4

Calculamos o erro padrão da proporção sob a hipótese nula:
Erro padrão = raizp0 (1 - p0)n = raiz0,5 times 0,580 = raiz0,2580 approx 0,0559 ã

Passo 5

Calculamos o valor do teste estatístico z:
z = p - p0Erro padrão = 0,25 - 0,50,0559 approx -4,47 ã

Passo 6

Determina-se o valor crítico para um teste bicaudal ao nível de significância de 5%. O valor crítico para z é aproximadamente pm1,96.

Passo 7

Comparamos o valor calculado de z com o valor crítico:
-4,47 < -1,96
Como o valor de z está além do valor crítico negativo, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, rejeitamos a hipótese de que a moeda é justa ao nível de significância de 5%. Portanto, concluímos que a moeda está viciada.

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