Usando as propriedades axiomáticas mostre que:
(b)
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(b)
Passo 1
Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é mostrar, usando as propriedades básicas da probabilidade, que a probabilidade do conjunto vazio é igual a zero. Estamos falando de teoria das probabilidades, especificamente das propriedades axiomáticas que definem uma medida de probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns axiomas fundamentais da probabilidade e aplicá-los passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas básicos da probabilidade:
- Axioma da não negatividade: Para qualquer evento $ A $, a probabilidade $ P(A) $ é maior ou igual a zero, ou seja, $ P(A) \geq 0 $.
- Axioma da normalização: A probabilidade do espaço amostral completo $ S $ é igual a 1, ou seja, $ P(S) = 1 $.
- Axioma da aditividade: Se dois eventos $ A $ e $ B $ são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer ao mesmo tempo), então a probabilidade de $ A $ ou $ B $ ocorrer é a soma das probabilidades individuais, ou seja, $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esses axiomas para encontrar $ P(\emptyset) $, a probabilidade do conjunto vazio. Primeiro, consideramos que o conjunto vazio $ \emptyset $ representa um evento impossível, que nunca ocorre. Assim, intuitivamente, sua probabilidade deveria ser zero, mas vamos provar isso usando os axiomas.
Passo 4
Vamos usar o terceiro axioma da aditividade. Note que o conjunto vazio e o espaço amostral completo são mutuamente exclusivos e a união deles é o espaço amostral completo:
De acordo com o axioma da aditividade:
Passo 5
Sabemos pelo segundo axioma que $ P(S) = 1 $. Substituindo na equação anterior:
Passo 6
Isolando $ P(\emptyset) $:
Passo 7
Portanto:
Resposta
A probabilidade do conjunto vazio é zero, ou seja, $ P(\emptyset) = 0 $.