Usando as propriedades axiomáticas mostre que:
(b) P(emptyset)=0.

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é mostrar, usando as propriedades básicas da probabilidade, que a probabilidade do conjunto vazio é igual a zero. Estamos falando de teoria das probabilidades, especificamente das propriedades axiomáticas que definem uma medida de probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns axiomas fundamentais da probabilidade e aplicá-los passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas básicos da probabilidade:
  1. Axioma da não negatividade: Para qualquer evento $ A $, a probabilidade $ P(A) $ é maior ou igual a zero, ou seja, $ P(A) \geq 0 $.
  2. Axioma da normalização: A probabilidade do espaço amostral completo $ S $ é igual a 1, ou seja, $ P(S) = 1 $.
  3. Axioma da aditividade: Se dois eventos $ A $ e $ B $ são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer ao mesmo tempo), então a probabilidade de $ A $ ou $ B $ ocorrer é a soma das probabilidades individuais, ou seja, $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esses axiomas para encontrar $ P(\emptyset) $, a probabilidade do conjunto vazio. Primeiro, consideramos que o conjunto vazio $ \emptyset $ representa um evento impossível, que nunca ocorre. Assim, intuitivamente, sua probabilidade deveria ser zero, mas vamos provar isso usando os axiomas.

Passo 4

Vamos usar o terceiro axioma da aditividade. Note que o conjunto vazio e o espaço amostral completo são mutuamente exclusivos e a união deles é o espaço amostral completo:
emptyset cup S = S
De acordo com o axioma da aditividade:
P(emptyset cup S) = P(emptyset) + P(S)

Passo 5

Sabemos pelo segundo axioma que $ P(S) = 1 $. Substituindo na equação anterior:
P(S) = 1

Passo 6

Isolando $ P(\emptyset) $:
P(emptyset)
P(emptyset) = P(S) - 1

Passo 7

Portanto:
P(emptyset) = 0

Resposta

A probabilidade do conjunto vazio é zero, ou seja, $ P(\emptyset) = 0 $.

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