Um experimento foi realizado para investigar o efeito fotoelétrico utilizando uma lâmpada de mercúrio (Hg) como fonte de luz. Os comprimentos de onda (lambda) da luz foram selecionados a partir das principais linhas espectrais do mercúrio, e o potencial de corte ( V corte ) foi medido para cada comprimento de onda. A tabela abaixo apresenta os dados coletados:
lambda(nm) V corte (V)
365 1.5
404 1.2
436 1.0
546 0.6
578 0.5
© Sabendo que a relação entre o potencial de corte e a frequência da luz no efeito fotoelétrico é dada por:
e V corte =h nu-phi
onde e é a carga do elétron, h é a constante de Planck e phi é a função trabalho do material, determine o valor da constante de Planck h a partir da inclinação da reta ajustada aos dados no gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está investigando o efeito fotoelétrico usando uma lâmpada de mercúrio. A gente tem uma tabela com diferentes comprimentos de onda da luz emitida e os respectivos potenciais de corte medidos. Nosso objetivo aqui é descobrir o valor da constante de Planck $ h $ usando a inclinação da reta que ajusta esses dados no gráfico. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a relação entre o potencial de corte, a frequência da luz e a constante de Planck.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a relação que liga o potencial de corte $ V_{corte} $ com a frequência $ \nu $ da luz no efeito fotoelétrico. A equação dada é:
Vcorte
Aqui, $ e $ é a carga do elétron, $ h $ é a constante de Planck que queremos encontrar, e $ \phi $ é a função trabalho do material. Podemos rearranjar essa equação para deixar $ V_{corte} $ em função de $ \nu $:
nu
Isso mostra que se plotarmos $ V_{corte} $ versus $ \nu $, teremos uma reta com inclinação $ \frac{h}{e} $ e intercepto $ -\frac{\phi}{e} $. Portanto, nossa missão é calcular a frequência $ \nu $ para cada comprimento de onda dado e depois encontrar a inclinação dessa reta.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a frequência $ \nu $ para cada comprimento de onda $ \lambda $ da tabela. A relação entre frequência e comprimento de onda é:
nu
Onde $ c $ é a velocidade da luz, aproximadamente $ 3 \times 10^8 , m/s $. Mas atenção: nossos comprimentos de onda estão em nanômetros (nm), então precisamos converter para metros:
lambda
Vamos fazer essa conversão e calcular $ \nu $ para cada $ \lambda $:
$ \lambda (nm) $ $ \lambda (m) $ $ \nu (Hz) $
365 $ 365 \times 10^{-9} $ m $ \frac{3 \times 10^8}{365 \times 10^{-9}} \approx 8.22 \times 10^{14} , Hz $
404 $ 404 \times 10^{-9} $ m $ \frac{3 \times 10^8}{404 \times 10^{-9}} \approx 7.43 \times 10^{14} , Hz $
436 $ 436 \times 10^{-9} $ m $ \frac{3 \times 10^8}{436 \times 10^{-9}} \approx 6.88 \times 10^{14} , Hz $
546 $ 546 \times 10^{-9} $ m $ \frac{3 \times 10^8}{546 \times 10^{-9}} \approx 5.49 \times 10^{14} , Hz $
578 $ 578 \times 10^{-9} $ m $ \frac{3 \times 10^8}{578 \times 10^{-9}} \approx 5.19 \times 10^{14} , Hz $

Passo 4

Agora que temos as frequências, vamos organizar os dados de $ \nu $ e $ V_{corte} $ para facilitar os cálculos:
$ \nu (Hz) $ $ V_{corte} (V) $
$ 8.22 \times 10^{14} $ 1.5
$ 7.43 \times 10^{14} $ 1.2
$ 6.88 \times 10^{14} $ 1.0
$ 5.49 \times 10^{14} $ 0.6
$ 5.19 \times 10^{14} $ 0.5
Para encontrar a inclinação da reta que melhor ajusta esses pontos, vamos usar a fórmula da regressão linear. A inclinação $ m $ é dada por:
nu
Onde:
  • $ N $ é o número de pontos (neste caso, 5).
  • $ x $ são as frequências $ \nu $.
  • $ y $ são os potenciais de corte $ V_{corte} $.
Vamos calcular cada parte dessa fórmula passo a passo.

Passo 5

Vamos calcular os valores necessários:
  1. Somatório de $ x $ (frequências):
x
sum x = 8.22 times 10^14 + 7.43 times 10^14 + 6.88 times 10^14 + 5.49 times 10^14 + 5.19 times 10^14
  1. Somatório de $ y $ (potenciais de corte):
sum x approx 8.22 + 7.43 + 6.88 + 5.49 + 5.19 = 32.21 times 10^14 , Hz
  1. Somatório de $ xy $ (produto de frequências e potenciais):
y
sum y = 1.5 + 1.2 + 1.0 + 0.6 + 0.5 = 4.8 , V
  1. Somatório de $ x^2 $ (quadrado das frequências):
xy
sum xy = (8.22 times 10^14 times 1.5) + (7.43 times 10^14 times 1.2) + (6.88 times 10^14 times 1.0) + (5.49 times 10^14 times 0.6) + (5.19 times 10^14 times 0.5)
  1. Calculando a inclinação $ m $:
sum xy approx 12.33 + 8.916 + 6.88 + 3.294 + 2.595 = 33.005 times 10^14 , Hz cdot V
Vamos calcular cada parte:
  • Numerador:
x^2
sum x^2 = (8.22 times 10^14)^2 + (7.43 times 10^14)^2 + (6.88 times 10^14)^2 + (5.49 times 10^14)^2 + (5.19 times 10^14)^2
sum x^2 approx 6.76 times 10^29 + 5.52 times 10^29 + 4.72 times 10^29 + 3.01 times 10^29 + 2.69 times 10^29 = 22.70 times 10^29 , Hz^2
  • Denominador:
m
m = 5 times 33.005 times 10^14 - 32.21 times 10^14 times 4.85 times 22.70 times 10^29 - (32.21 times 10^14)^2
5 times 33.005 times 10^14 = 165.025 times 10^14
  • Agora, a inclinação $ m $:
32.21 times 10^14 times 4.8 = 154.608 times 10^14

Passo 6

Agora que temos a inclinação $ m $, que é igual a $ \frac{h}{e} $, podemos encontrar a constante de Planck $ h $. A relação é:
m
Sabemos que a carga do elétron $ e $ é aproximadamente $ 1.602 \times 10^{-19} , C $.
Vamos calcular:
he
h

Resposta

A constante de Planck $ h $ calculada a partir dos dados fornecidos é aproximadamente $ 1.64 \times 10^{-34} , J \cdot s $.

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