Um experimento foi realizado para investigar o efeito fotoelétrico utilizando uma lâmpada de mercúrio
como fonte de luz. Os comprimentos de onda
da luz foram selecionados a partir das principais linhas espectrais do mercúrio, e o potencial de corte (
) foi medido para cada comprimento de onda. A tabela abaixo apresenta os dados coletados:
|
|
---|---|
365 | 1.5 |
404 | 1.2 |
436 | 1.0 |
546 | 0.6 |
578 | 0.5 |
© Sabendo que a relação entre o potencial de corte e a frequência da luz no efeito fotoelétrico é dada por:
onde
é a carga do elétron,
é a constante de Planck e
é a função trabalho do material, determine o valor da constante de Planck
a partir da inclinação da reta ajustada aos dados no gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está investigando o efeito fotoelétrico usando uma lâmpada de mercúrio. A gente tem uma tabela com diferentes comprimentos de onda da luz emitida e os respectivos potenciais de corte medidos. Nosso objetivo aqui é descobrir o valor da constante de Planck $ h $ usando a inclinação da reta que ajusta esses dados no gráfico. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a relação entre o potencial de corte, a frequência da luz e a constante de Planck.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a relação que liga o potencial de corte $ V_{corte} $ com a frequência $ \nu $ da luz no efeito fotoelétrico. A equação dada é:
Aqui, $ e $ é a carga do elétron, $ h $ é a constante de Planck que queremos encontrar, e $ \phi $ é a função trabalho do material. Podemos rearranjar essa equação para deixar $ V_{corte} $ em função de $ \nu $:
Isso mostra que se plotarmos $ V_{corte} $ versus $ \nu $, teremos uma reta com inclinação $ \frac{h}{e} $ e intercepto $ -\frac{\phi}{e} $. Portanto, nossa missão é calcular a frequência $ \nu $ para cada comprimento de onda dado e depois encontrar a inclinação dessa reta.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a frequência $ \nu $ para cada comprimento de onda $ \lambda $ da tabela. A relação entre frequência e comprimento de onda é:
Onde $ c $ é a velocidade da luz, aproximadamente $ 3 \times 10^8 , m/s $. Mas atenção: nossos comprimentos de onda estão em nanômetros (nm), então precisamos converter para metros:
Vamos fazer essa conversão e calcular $ \nu $ para cada $ \lambda $:
$ \lambda (nm) $ | $ \lambda (m) $ | $ \nu (Hz) $ |
---|---|---|
365 | $ 365 \times 10^{-9} $ m | $ \frac{3 \times 10^8}{365 \times 10^{-9}} \approx 8.22 \times 10^{14} , Hz $ |
404 | $ 404 \times 10^{-9} $ m | $ \frac{3 \times 10^8}{404 \times 10^{-9}} \approx 7.43 \times 10^{14} , Hz $ |
436 | $ 436 \times 10^{-9} $ m | $ \frac{3 \times 10^8}{436 \times 10^{-9}} \approx 6.88 \times 10^{14} , Hz $ |
546 | $ 546 \times 10^{-9} $ m | $ \frac{3 \times 10^8}{546 \times 10^{-9}} \approx 5.49 \times 10^{14} , Hz $ |
578 | $ 578 \times 10^{-9} $ m | $ \frac{3 \times 10^8}{578 \times 10^{-9}} \approx 5.19 \times 10^{14} , Hz $ |
Passo 4
Agora que temos as frequências, vamos organizar os dados de $ \nu $ e $ V_{corte} $ para facilitar os cálculos:
$ \nu (Hz) $ | $ V_{corte} (V) $ |
---|---|
$ 8.22 \times 10^{14} $ | 1.5 |
$ 7.43 \times 10^{14} $ | 1.2 |
$ 6.88 \times 10^{14} $ | 1.0 |
$ 5.49 \times 10^{14} $ | 0.6 |
$ 5.19 \times 10^{14} $ | 0.5 |
Para encontrar a inclinação da reta que melhor ajusta esses pontos, vamos usar a fórmula da regressão linear. A inclinação $ m $ é dada por:
Onde:
- $ N $ é o número de pontos (neste caso, 5).
- $ x $ são as frequências $ \nu $.
- $ y $ são os potenciais de corte $ V_{corte} $.
Vamos calcular cada parte dessa fórmula passo a passo.
Passo 5
Vamos calcular os valores necessários:
- Somatório de $ x $ (frequências):
- Somatório de $ y $ (potenciais de corte):
- Somatório de $ xy $ (produto de frequências e potenciais):
- Somatório de $ x^2 $ (quadrado das frequências):
- Calculando a inclinação $ m $:
Vamos calcular cada parte:
- Numerador:
- Denominador:
- Agora, a inclinação $ m $:
Passo 6
Agora que temos a inclinação $ m $, que é igual a $ \frac{h}{e} $, podemos encontrar a constante de Planck $ h $. A relação é:
Sabemos que a carga do elétron $ e $ é aproximadamente $ 1.602 \times 10^{-19} , C $.
Vamos calcular:
Resposta
A constante de Planck $ h $ calculada a partir dos dados fornecidos é aproximadamente $ 1.64 \times 10^{-34} , J \cdot s $.