Uma empresa de engenharia quer testar a diferença no tempo de falha de dois tipos de materiais usados em estruturas metálicas. Amostras de 12 unidades de cada material revelaram os seguintes dados: Material A: média =500 horas, desvio padrão =15 horas
Material B: média =520 horas, desvio padrão =10 horas
Teste se há diferença significativa no tempo de falha entre os dois materiais (nível de significância de 5 % ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre comparar o tempo que dois materiais (A e B) levam para falhar em estruturas metálicas. A gente quer saber se essa diferença nos tempos de falha é significativa ou não, usando um nível de significância de 5%. Para resolver isso, vamos usar Teste de Hipóteses para duas médias, que nos ajuda a ver se as médias de dois grupos são diferentes de forma relevante.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): Não há diferença nos tempos de falha dos materiais, ou seja, as médias são iguais.
    H0: muA = muB
  • Hipótese Alternativa (H₁): Existe diferença nos tempos de falha, ou seja, as médias são diferentes.
    H1: muA neq muB

Passo 3

Como estamos comparando as médias de dois grupos independentes e temos as médias e desvios padrões das amostras, vamos usar o Teste t de Student para duas amostras. Esse teste é adequado quando não conhecemos os desvios padrões das populações e os tamanhos das amostras são pequenos (n < 30).

Passo 4

Vamos calcular o estatístico t usando a fórmula:
t = barXA - barXBraizSA^2nA + SB^2nB
Onde:
  • barXA = 500 horas (média do Material A)
  • barXB = 520 horas (média do Material B)
  • SA = 15 horas (desvio padrão do Material A)
  • SB = 10 horas (desvio padrão do Material B)
  • nA = nB = 12 (tamanho das amostras)

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
t = 500 - 520raiz15^212 + 10^212
Calculando os quadrados dos desvios padrões:
15^2 = 225
10^2 = 100
Agora:
t = -20raiz22512 + 10012
Simplificando as frações:
t = -20raiz18.75 + 8.33
t = -20raiz27.08
t = -205.204
t approx -3.843

Passo 6

Agora, vamos determinar os graus de liberdade (df) para o teste. Usaremos a fórmula de Welch, pois os desvios padrões são diferentes:
df = (SA^2nA + SB^2nB)^2(SA^2nA)^2nA - 1 + (SB^2nB)^2nB - 1
Substituindo os valores:
df = (22512 + 10012)^2(22512)^211 + (10012)^211
df = (18.75 + 8.33)^2(18.75)^211 + (8.33)^211
df = 27.08^2351.5611 + 69.3911
df = 733.3331.96 + 6.31
df = 733.3338.27
df approx 19.15
Arredondamos para 19 graus de liberdade.

Passo 7

Com o valor de t calculado (-3.843) e os graus de liberdade (19), vamos verificar o valor crítico para um teste bilateral com nível de significância de 5% (α = 0.05). Consultando a tabela t de Student, para df = 19 e α/2 = 0.025 de cada lado, o valor crítico é aproximadamente ±2.093.

Passo 8

Comparando o valor calculado de t com o valor crítico:
  • Nosso t calculado: -3.843
  • Valor crítico: -2.093 e 2.093
Como -3.843 < -2.093, o valor de t está na região de rejeição da hipótese nula.

Passo 9

Portanto, rejeitamos a Hipótese Nula (H₀).

Resposta

Há diferença significativa no tempo de falha entre os dois materiais, com o Material B apresentando maior resistência sob o nível de significância de 5%.

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