Uma empresa de engenharia quer testar a diferença no tempo de falha de dois tipos de materiais usados em estruturas metálicas. Amostras de 12 unidades de cada material revelaram os seguintes dados: Material A: média
horas, desvio padrão
horas
Material B: média
horas, desvio padrão
horas
Teste se há diferença significativa no tempo de falha entre os dois materiais (nível de significância de
).
Material B: média
Teste se há diferença significativa no tempo de falha entre os dois materiais (nível de significância de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre comparar o tempo que dois materiais (A e B) levam para falhar em estruturas metálicas. A gente quer saber se essa diferença nos tempos de falha é significativa ou não, usando um nível de significância de 5%. Para resolver isso, vamos usar Teste de Hipóteses para duas médias, que nos ajuda a ver se as médias de dois grupos são diferentes de forma relevante.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses:
-
Hipótese Nula (H₀): Não há diferença nos tempos de falha dos materiais, ou seja, as médias são iguais.
-
Hipótese Alternativa (H₁): Existe diferença nos tempos de falha, ou seja, as médias são diferentes.
Passo 3
Como estamos comparando as médias de dois grupos independentes e temos as médias e desvios padrões das amostras, vamos usar o Teste t de Student para duas amostras. Esse teste é adequado quando não conhecemos os desvios padrões das populações e os tamanhos das amostras são pequenos (n < 30).
Passo 4
Vamos calcular o estatístico t usando a fórmula:
Onde:
-
horas (média do Material A) -
horas (média do Material B) -
horas (desvio padrão do Material A) -
horas (desvio padrão do Material B) -
(tamanho das amostras)
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Calculando os quadrados dos desvios padrões:
Agora:
Simplificando as frações:
Passo 6
Agora, vamos determinar os graus de liberdade (df) para o teste. Usaremos a fórmula de Welch, pois os desvios padrões são diferentes:
Substituindo os valores:
Arredondamos para 19 graus de liberdade.
Passo 7
Com o valor de t calculado (-3.843) e os graus de liberdade (19), vamos verificar o valor crítico para um teste bilateral com nível de significância de 5% (α = 0.05). Consultando a tabela t de Student, para df = 19 e α/2 = 0.025 de cada lado, o valor crítico é aproximadamente ±2.093.
Passo 8
Comparando o valor calculado de t com o valor crítico:
- Nosso t calculado: -3.843
- Valor crítico: -2.093 e 2.093
Como -3.843 < -2.093, o valor de t está na região de rejeição da hipótese nula.
Passo 9
Portanto, rejeitamos a Hipótese Nula (H₀).
Resposta
Há diferença significativa no tempo de falha entre os dois materiais, com o Material B apresentando maior resistência sob o nível de significância de 5%.
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