Explique como funcionam as análises quantitativas por
?
Passo 1
Beleza, vamos explicar como funcionam as análises quantitativas usando o método Conjugate Gradient (CG). Esse método é usado para resolver sistemas de equações lineares grandes e esparsos, especialmente aqueles que aparecem em problemas de engenharia e ciência. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de álgebra linear e métodos numéricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um sistema de equações lineares pode ser representado na forma
, onde
é uma matriz,
é o vetor de incógnitas que queremos encontrar, e
é o vetor dos resultados. Quando
é grande e positiva definida, o método de Conjugate Gradient é uma ótima opção para encontrar
.
Passo 3
O método CG começa com uma estimativa inicial para
. Geralmente, a gente começa com
, mas pode ser qualquer palpite. A ideia é melhorar essa estimativa passo a passo até que a solução seja suficientemente precisa.
Passo 4
Em seguida, calculamos o resíduo inicial, que é basicamente a diferença entre o lado direito
e o que obtemos com a estimativa atual:
. Esse resíduo indica o “erro” da nossa estimativa inicial.
Passo 5
Definimos a direção de busca inicial como
. Essa direção vai nos guiar para melhorar a estimativa de
. Então, em cada iteração, ajustamos
na direção de
para aproximar mais de
.
Passo 6
Calculamos um passo
que determina quanto devemos mover na direção
. Esse passo é calculado de forma a minimizar o erro na próxima estimativa:
Isso garante que estamos fazendo o melhor ajuste possível na direção escolhida.
Passo 7
Atualizamos a estimativa de
:
E atualizamos o resíduo:
Se o resíduo for suficientemente pequeno, paramos. Caso contrário, continuamos.
Passo 8
Calculamos um novo parâmetro
que ajusta a próxima direção de busca:
E então atualizamos a direção:
Isso garante que as direções de busca sejam conjugadas, ou seja, ortogonais em relação à matriz
, o que ajuda na convergência rápida do método.
Resposta
O método de Conjugate Gradient funciona ajustando iterativamente a estimativa de
em direções conjugadas, reduzindo o erro a cada passo, até encontrar uma solução precisa para
. Isso é especialmente útil para grandes sistemas onde métodos diretos seriam muito demorados.