Explique o porquê das seguintes funções de onda não são fisicamente possíveis para todos os valores de x ?
i.
ii.
iii.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício que pede para explicar por que algumas funções de onda não são fisicamente possíveis para todos os valores de . Isso faz parte da matéria de Mecânica Quântica, onde estudamos as propriedades das funções de onda que descrevem partículas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna uma função de onda “física”, ou seja, quais condições ela precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que, para uma função de onda ser fisicamente válida, ela precisa ser normalizável. Isso significa que a integral do quadrado do módulo da função de onda sobre todo o espaço deve ser finita. Em termos matemáticos:
Se essa integral for infinita, a função de onda não representa uma probabilidade válida, e, portanto, não pode descrever fisicamente uma partícula.

Passo 3

Vamos analisar cada uma das funções de onda apresentadas no exercício para verificar se elas são normalizáveis.
i.
Aqui, cresce exponencialmente conforme aumenta. Se tentarmos calcular a integral:
Note que, quando tende a , também tende a , o que faz com que a integral seja infinita. Assim, não é uma função de onda normalizável.

Passo 4

ii.
Aqui, a função é um polinômio de segundo grau. Vamos calcular a integral:
O termo cresce muito rapidamente conforme se afasta de zero, tanto para valores positivos quanto negativos de . Isso faz com que a integral seja infinita. Portanto, também não é normalizável.

Passo 5

iii.
A função (que é a arctangente) tende a quando vai para e a quando vai para . Vamos ver a integral:
Como se aproxima de valores constantes quando vai para , o termo também tende a um valor constante. Assim, a integral se torna infinita, tornando não normalizável.

Resposta

Nenhuma das funções de onda apresentadas é fisicamente possível para todos os valores de porque elas não são normalizáveis; a integral do quadrado do módulo de cada função sobre todo o espaço é infinita.

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