Escreva a equação de Schrödinger dependente do tempo e mostre como chegar à equação independente do tempo. Em que casos podemos utilizar a equação independente do tempo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever a equação de Schrödinger que depende do tempo e depois mostrar como chegar na versão que não depende do tempo. Além disso, devemos entender em quais situações a equação independente do tempo pode ser usada. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco de mecânica quântica, especialmente sobre funções de onda e como elas evoluem no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de Schrödinger dependente do tempo. Essa equação descreve como a função de onda Psi(r, t) de uma partícula evolui ao longo do tempo. Ela é dada por:
ihbar partial Psi(r, t)partial t = H Psi(r, t)
Aqui, i é a unidade imaginária, hbar é a constante de Planck reduzida, Psi(r, t) é a função de onda que depende da posição r e do tempo t, e H é o operador hamiltoniano, que representa a energia total do sistema.

Passo 3

Agora, queremos chegar na equação de Schrödinger independente do tempo. Para isso, vamos supor que a função de onda Psi(r, t) pode ser separada em uma parte que depende apenas da posição e outra que depende apenas do tempo. Ou seja:
Psi(r, t) = psi(r) cdot T(t)
Essa técnica é conhecida como separação de variáveis.

Passo 4

Substituindo a forma separada da função de onda na equação de Schrödinger dependente do tempo, temos:
ihbar partial (psi(r) T(t))partial t = H (psi(r) T(t))
Como psi(r) não depende do tempo, a derivada fica:
ihbar psi(r) d T(t)dt = T(t) H psi(r)

Passo 5

Dividindo ambos os lados da equação por psi(r) T(t), obtemos:
ihbar 1T(t) d T(t)dt = H psi(r)psi(r)
Percebemos que o lado esquerdo depende apenas do tempo e o lado direito depende apenas da posição. Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de r e t, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de E (a energia total).

Passo 6

Então, temos duas equações separadas:
  1. Equação temporal:
    ihbar 1T(t) d T(t)dt = E
  2. Equação espacial (independente do tempo):
    H psi(r) = E psi(r)
A segunda equação é a equação de Schrödinger independente do tempo, também conhecida como equação de eigenvalores, onde E representa os valores próprios da energia do sistema.

Passo 7

Resolvendo a equação temporal:
ihbar d T(t)dt = E T(t)
Integrando, encontramos:
T(t) = e^-iEt/hbar
Portanto, a solução completa da função de onda é:
Psi(r, t) = psi(r) e^-iEt/hbar

Resposta

Chegamos à equação de Schrödinger independente do tempo:
H psi(r) = E psi(r)
Podemos utilizar essa equação em casos onde a energia do sistema não depende do tempo, ou seja, em sistemas estacionários onde as condições do sistema são constantes ao longo do tempo. Nesses casos, a função de onda pode ser separada em uma parte espacial e uma parte temporal, simplificando a análise do comportamento do sistema quântico.

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