Escreva a equação de Schrödinger dependente do tempo e mostre como chegar à equação independente do tempo. Em que casos podemos utilizar a equação independente do tempo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever a equação de Schrödinger que depende do tempo e depois mostrar como chegar na versão que não depende do tempo. Além disso, devemos entender em quais situações a equação independente do tempo pode ser usada. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco de mecânica quântica, especialmente sobre funções de onda e como elas evoluem no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de Schrödinger dependente do tempo. Essa equação descreve como a função de onda
de uma partícula evolui ao longo do tempo. Ela é dada por:
Aqui,
é a unidade imaginária,
é a constante de Planck reduzida,
é a função de onda que depende da posição
e do tempo
, e
é o operador hamiltoniano, que representa a energia total do sistema.
Passo 3
Agora, queremos chegar na equação de Schrödinger independente do tempo. Para isso, vamos supor que a função de onda
pode ser separada em uma parte que depende apenas da posição e outra que depende apenas do tempo. Ou seja:
Essa técnica é conhecida como separação de variáveis.
Passo 4
Substituindo a forma separada da função de onda na equação de Schrödinger dependente do tempo, temos:
Como
não depende do tempo, a derivada fica:
Passo 5
Dividindo ambos os lados da equação por
, obtemos:
Percebemos que o lado esquerdo depende apenas do tempo e o lado direito depende apenas da posição. Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de
e
, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de
(a energia total).
Passo 6
Então, temos duas equações separadas:
-
Equação temporal:
-
Equação espacial (independente do tempo):
A segunda equação é a equação de Schrödinger independente do tempo, também conhecida como equação de eigenvalores, onde
representa os valores próprios da energia do sistema.
Passo 7
Resolvendo a equação temporal:
Integrando, encontramos:
Portanto, a solução completa da função de onda é:
Resposta
Chegamos à equação de Schrödinger independente do tempo:
Podemos utilizar essa equação em casos onde a energia do sistema não depende do tempo, ou seja, em sistemas estacionários onde as condições do sistema são constantes ao longo do tempo. Nesses casos, a função de onda pode ser separada em uma parte espacial e uma parte temporal, simplificando a análise do comportamento do sistema quântico.