Explique por que as séries abaixo são divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para explicar por que a série
é divergente. Vamos trabalhar com a matéria de Séries Infinitas e entender os conceitos básicos que precisamos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser divergente. Uma série é divergente quando a soma dos seus termos não se aproxima de um número finito à medida que adicionamos mais e mais termos.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a série
. Isso significa que estamos somando termos que alternam entre positivos e negativos:
Passo 4
Para verificar se a série converge ou diverge, podemos analisar o comportamento dos termos individuais. Uma condição necessária para a convergência de uma série infinita é que o limite dos termos
tende a zero quando
vai para o infinito.
Passo 5
No nosso caso, os termos são
. Vamos calcular o limite:
Passo 6
Observamos que
alterna entre -1 e 1 conforme
aumenta. Portanto, esse limite não existe, pois não se aproxima de nenhum número específico.
Passo 7
Como o limite dos termos não é zero, já podemos concluir que a série
é divergente, de acordo com o Teste da Divergência.
Resposta
A série
é divergente porque os termos não tendem a zero, fazendo com que a soma não se estabilize em um valor finito.
Exercícios relacionados
Seja
. Determine
(a)
(a)
(a)
Seja
. Determine
Calcule .
Calcule
onde
é a distância entre a carga
em
e um ponto qualquer do espaço
(exceto em
). A força elétrica repulsiva que uma segunda carga positiva de valor
colocada em
sente é proporcional à taxa de variação do potencial em relação ao ponto
, i.e.,
a) Calcule a força que a carga
exerce sobre
em função de
.