Explique por que a temperatura de um gás diminui em um processo adiabático. Demonstre matematicamente a relação piVI
, onde
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para explicar por que a temperatura de um gás diminui em um processo adiabático e demonstrar matematicamente a relação
, onde
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um processo adiabático, as leis dos gases ideais e como a capacidade calorífica
e
se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um processo adiabático. Um processo adiabático é aquele no qual não há troca de calor entre o sistema (nesse caso, o gás) e o ambiente. Isso significa que toda a energia que o gás usa ou libera durante a compressão ou expansão vem do próprio trabalho realizado sobre ou pelo gás.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da primeira lei da termodinâmica, que diz:
Onde:
-
é a variação da energia interna. -
é o calor trocado. -
é o trabalho realizado.
Em um processo adiabático,
, então a equação fica:
Isso mostra que a mudança na energia interna está diretamente relacionada ao trabalho feito.
Passo 4
Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. Se o gás faz trabalho ao se expandir, ele usa parte da sua energia interna, o que faz a temperatura diminuir. Por isso, em um processo adiabático de expansão, a temperatura do gás diminui.
Passo 5
Agora, vamos demonstrar matematicamente a relação
. Começamos com as equações dos gases ideais:
Onde
é a pressão,
é o volume,
é a quantidade de gás,
é a constante universal dos gases e
é a temperatura.
Passo 6
Como o processo é adiabático, usamos a relação entre pressão e volume para processos adiabáticos:
Isso significa que para dois estados iniciais e finais:
Onde
, que é a razão das capacidades caloríficas a pressão constante e a volume constante.
Passo 7
Essa relação mostra que se o volume aumenta (
), a pressão deve diminuir (
) de forma que o produto
permaneça constante. Essa diminuição na pressão está ligada à diminuição da temperatura, conforme vimos anteriormente.
Resposta
Em resumo, em um processo adiabático, a temperatura do gás diminui porque o trabalho realizado pelo gás resulta na redução de sua energia interna, sem troca de calor com o ambiente. Matematicamente, isso é expresso pela relação
, onde
.