(a) normalize
.
(b) Determine a evolução temporal da função de onda, ou seja, obtenha
.
© Calcule
e
.
(d) Se uma medida é feita, o que acontece com os valores destes coeficientes?
(b) Determine a evolução temporal da função de onda, ou seja, obtenha
© Calcule
(d) Se uma medida é feita, o que acontece com os valores destes coeficientes?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A função de onda inicial é dada por:
Estamos trabalhando com Mecânica Quântica, especificamente com a normalização de funções de onda, evolução temporal delas e coeficientes em relação a estados próprios. Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar uma função de onda, como aplicar a equação de Schrödinger para encontrar a evolução temporal, calcular os coeficientes
e
, e o que acontece com esses coeficientes após uma medida.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda
. Normalizar significa ajustar a função de modo que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Matemáticamente, isso é feito garantindo que:
No nosso caso, como a função
é definida em um intervalo específico (provavelmente de 0 a b), ajustaremos a integral nesse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular a constante de normalização
. Primeiro, calculamos
:
Então, integramos de 0 a b:
Expandindo
:
Integrando termo a termo:
Substituindo x = b:
Simplificando:
Calculando os coeficientes:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos
, a função de onda normalizada é:
Passo 5
Para determinar a evolução temporal da função de onda
, usamos a solução geral da equação de Schrödinger independente do tempo:
Aqui,
são os estados próprios do sistema com energia
, e
são os coeficientes que determinam a contribuição de cada estado próprio na função de onda inicial.
Passo 6
Vamos assumir que estamos lidando com um poço de potencial infinito unidimensional de largura
, onde os estados próprios são:
e as energias são:
Para encontrar
, precisamos dos coeficientes
, que são dados por:
Passo 7
Agora, vamos calcular os coeficientes
,
e
:
Simplificando:
A integral pode ser resolvida por partes ou consultando tabelas de integrais, resultando em valores específicos para cada
.
Passo 8
Após calcular os
, a evolução temporal da função de onda é:
Passo 9
Finalmente, se uma medida de energia é feita, o sistema colapsa para um dos estados próprios
com probabilidade
. Isso significa que os coeficientes
deixam de ter uma fase temporal e se tornam constantes, correspondendo à probabilidade de medir a energia
.
Resposta
(a) A função de onda normalizada é:
(b) A evolução temporal da função de onda é:
© Os coeficientes são
,
e
calculados pela integral:
(d) Após uma medida de energia, os coeficientes
correspondem às probabilidades de obter cada energia
, e a função de onda colapsa para o estado próprio associado.