(a) normalize .
(b) Determine a evolução temporal da função de onda, ou seja, obtenha .
© Calcule e .
(d) Se uma medida é feita, o que acontece com os valores destes coeficientes?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A função de onda inicial é dada por:
Estamos trabalhando com Mecânica Quântica, especificamente com a normalização de funções de onda, evolução temporal delas e coeficientes em relação a estados próprios. Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar uma função de onda, como aplicar a equação de Schrödinger para encontrar a evolução temporal, calcular os coeficientes e , e o que acontece com esses coeficientes após uma medida.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda . Normalizar significa ajustar a função de modo que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Matemáticamente, isso é feito garantindo que:
No nosso caso, como a função é definida em um intervalo específico (provavelmente de 0 a b), ajustaremos a integral nesse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular a constante de normalização . Primeiro, calculamos :
Então, integramos de 0 a b:
Expandindo :
Integrando termo a termo:
Substituindo x = b:
Simplificando:
Calculando os coeficientes:
Portanto:

Passo 4

Agora que temos , a função de onda normalizada é:

Passo 5

Para determinar a evolução temporal da função de onda , usamos a solução geral da equação de Schrödinger independente do tempo:
Aqui, são os estados próprios do sistema com energia , e são os coeficientes que determinam a contribuição de cada estado próprio na função de onda inicial.

Passo 6

Vamos assumir que estamos lidando com um poço de potencial infinito unidimensional de largura , onde os estados próprios são:
e as energias são:
Para encontrar , precisamos dos coeficientes , que são dados por:

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes , e :
Simplificando:
A integral pode ser resolvida por partes ou consultando tabelas de integrais, resultando em valores específicos para cada .

Passo 8

Após calcular os , a evolução temporal da função de onda é:

Passo 9

Finalmente, se uma medida de energia é feita, o sistema colapsa para um dos estados próprios com probabilidade . Isso significa que os coeficientes deixam de ter uma fase temporal e se tornam constantes, correspondendo à probabilidade de medir a energia .

Resposta

(a) A função de onda normalizada é:
(b) A evolução temporal da função de onda é:
© Os coeficientes são , e calculados pela integral:
(d) Após uma medida de energia, os coeficientes correspondem às probabilidades de obter cada energia , e a função de onda colapsa para o estado próprio associado.

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