Psi(x, 0)=gamma x(b-x)
(a) normalize Psi(x, 0).
(b) Determine a evolução temporal da função de onda, ou seja, obtenha Psi(x, t).
© Calcule c1, c2 e c3.
(d) Se uma medida é feita, o que acontece com os valores destes coeficientes?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A função de onda inicial é dada por:
Psi(x, 0) = gamma x(b - x)
Estamos trabalhando com Mecânica Quântica, especificamente com a normalização de funções de onda, evolução temporal delas e coeficientes em relação a estados próprios. Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar uma função de onda, como aplicar a equação de Schrödinger para encontrar a evolução temporal, calcular os coeficientes e , e o que acontece com esses coeficientes após uma medida.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda integral-infty^infty |Psi(x, 0)|^2 dx = 1 . Normalizar significa ajustar a função de modo que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Matemáticamente, isso é feito garantindo que:
No nosso caso, como a função é definida em um intervalo específico (provavelmente de 0 a b), ajustaremos a integral nesse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular a constante de normalização |Psi(x, 0)|^2 = gamma^2 x^2 (b - x)^2 . Primeiro, calculamos gamma^2 integral0^b x^2 (b - x)^2 dx = 1 :
x^2 (b^2 - 2bx + x^2) = b^2x^2 - 2bx^3 + x^4
Então, integramos de 0 a b:
gamma^2 [ b^2 x^33 - 2b x^44 + x^55 ]0^b = 1
Expandindo gamma^2 [ b^2 b^33 - 2b b^44 + b^55 ] = 1 :
gamma^2 [ b^53 - b^52 + b^55 ] = 1
Integrando termo a termo:
13 - 12 + 15 = 10 - 15 + 630 = 130
Substituindo x = b:
gamma^2 cdot b^530 = 1 Rightarrow gamma^2 = 30b^5 Rightarrow gamma = raiz30b^5
Simplificando:
Calculando os coeficientes:
Portanto:

Passo 4

Agora que temos Psi(x, 0) = raiz30b^5 , x(b - x) , a função de onda normalizada é:

Passo 5

Para determinar a evolução temporal da função de onda Psi(x, t) = sumn cn phin(x) e^-iEn t/hbar , usamos a solução geral da equação de Schrödinger independente do tempo:
Aqui, são os estados próprios do sistema com energia , e são os coeficientes que determinam a contribuição de cada estado próprio na função de onda inicial.

Passo 6

Vamos assumir que estamos lidando com um poço de potencial infinito unidimensional de largura phin(x) = raiz2b sin(npi xb) , onde os estados próprios são:
En = n^2 pi^2 hbar^22m b^2
e as energias são:
cn = integral0^b Psi(x, 0) phin(x) dx
Para encontrar , precisamos dos coeficientes , que são dados por:

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes cn = raiz2b raiz30b^5 integral0^b x(b - x) sin(npi xb) dx , cn = raiz60b^6 integral0^b x(b - x) sin(npi xb) dx e :
Simplificando:
A integral pode ser resolvida por partes ou consultando tabelas de integrais, resultando em valores específicos para cada .

Passo 8

Após calcular os Psi(x, t) = c1 phi1(x) e^-iE1 t/hbar + c2 phi2(x) e^-iE2 t/hbar + c3 phi3(x) e^-iE3 t/hbar , a evolução temporal da função de onda é:

Passo 9

Finalmente, se uma medida de energia é feita, o sistema colapsa para um dos estados próprios com probabilidade . Isso significa que os coeficientes deixam de ter uma fase temporal e se tornam constantes, correspondendo à probabilidade de medir a energia .

Resposta

(a) A função de onda normalizada é:
Psi(x, 0) = raiz30b^5 , x(b - x)
(b) A evolução temporal da função de onda é:
Psi(x, t) = c1 phi1(x) e^-iE1 t/hbar + c2 phi2(x) e^-iE2 t/hbar + c3 phi3(x) e^-iE3 t/hbar
© Os coeficientes são cn = raiz60b^6 integral0^b x(b - x) sin(npi xb) dx , e calculados pela integral:
(d) Após uma medida de energia, os coeficientes correspondem às probabilidades de obter cada energia , e a função de onda colapsa para o estado próprio associado.

Exercícios relacionados