Explique por que a temperatura de um gás diminui em um processo adiabático. Demonstre matematicamente a relação piVi^gamma=pfVf^gamma, onde gamma=Cp / Cv.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Ela quer que a gente explique por que a temperatura de um gás diminui durante um processo adiabático e, além disso, que a gente prove matematicamente a relação piVi^gamma=pfVf^gamma, onde gamma = Cp / Cv. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um processo adiabático na termodinâmica e como as leis dos gases se aplicam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um processo adiabático. Em termodinâmica, um processo adiabático é aquele em que não há troca de calor ( Q = 0) entre o sistema (neste caso, o gás) e o ambiente. Isso significa que qualquer mudança de energia interna do gás deve vir apenas do trabalho realizado.

Passo 3

Sabemos que a primeira lei da termodinâmica é dada por:
De
Como Q = 0 no processo adiabático, a equação simplifica para:
De
Isso mostra que a variação de energia interna ( De) está diretamente relacionada ao trabalho ( W) realizado pelo gás.

Passo 4

Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. Assim, se o trabalho realizado pelo gás é positivo (expansão), a energia interna diminui, resultando em uma diminuição da temperatura. Da mesma forma, se o trabalho é negativo (compressão), a energia interna aumenta e a temperatura também aumenta.

Passo 5

Agora, vamos demonstrar matematicamente a relação piVi^gamma=pfVf^gamma. Começamos pela equação dos processos adiabáticos para gases ideais:
pV^gamma = constante
Onde gamma = CpCv, sendo Cp a capacidade calorífica a pressão constante e Cv a capacidade calorífica a volume constante.

Passo 6

Para provar isso, usamos as relações das capacidades caloríficas:
gamma = CpCv = 1 + RCv
Onde R é a constante dos gases.

Passo 7

A partir da primeira lei da termodinâmica e das equações para processos adiabáticos, derivamos que:
pV^gamma = constante
Isso significa que, para qualquer estado inicial (pi, Vi) e final (pf, Vf), a relação piVi^gamma=pfVf^gamma se mantém válida.

Resposta

A temperatura de um gás diminui em um processo adiabático porque, sem troca de calor com o ambiente, o trabalho realizado pelo gás resulta na diminuição da energia interna, reduzindo assim a temperatura. Além disso, matematicamente, mostramos que piVi^gamma=pfVf^gamma, onde gamma = Cp / Cv, confirmando a relação característica dos processos adiabáticos.

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