Explique o Teorema do Rotacional. (Escreva a interpretação geométrica).

Passo 1

Beleza! Você me pediu para explicar o Teorema do Rotacional e dar uma interpretação geométrica dele. Então, vamos falar sobre cálculo vetorial, especificamente sobre como o rotacional de um campo vetorial descreve sua tendência de “girar” em torno de um ponto. Para entender isso, vamos precisar conhecer vetores, campos vetoriais e o conceito de rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial. Imagine que em cada ponto do espaço temos uma seta (vetor) que aponta numa direção e tem um tamanho específico. Um campo vetorial pode representar, por exemplo, a velocidade do vento em cada ponto de uma área.

Passo 3

Agora, o rotacional de um campo vetorial é uma operação que medimos a tendência do campo de girar em torno de um ponto. Matemáticamente, o rotacional de um vetor é dado por:
Isso nos dá um novo vetor que aponta na direção do eixo de rotação e cujo tamanho indica a intensidade dessa rotação.

Passo 4

Então, o Teorema do Rotacional nos conecta o rotacional de um campo vetorial com a circulação do campo ao longo de uma superfície fechada. Geometricamente, isso significa que o quanto o campo “gira” dentro de uma superfície está relacionado à circulação acumulada ao redor da borda dessa superfície.

Passo 5

Em termos geométricos, pense em uma superfície plana como uma hélice. O rotacional mede como a hélice está girando em cada ponto. Se você der a volta ao redor da borda da hélice, a circulação total que você sente é proporcional à soma dessas rotações internas, que é justamente o que o Teorema do Rotacional nos diz.

Resposta

O Teorema do Rotacional estabelece que o rotacional de um campo vetorial em uma região está relacionado à circulação do campo ao longo da fronteira dessa região. Geometricamente, isso significa que a tendência de um campo vetorial “girar” dentro de uma superfície é refletida na circulação total ao redor da borda dessa superfície.

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