Obtenha a densidade superficial de cargas induzidas no plano condutor. Calcule a carga total no plano condutor por integração direta e interprete o resultado à luz da lei de Gauss.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a densidade superficial de cargas induzidas em um plano condutor. Isso significa descobrir quanto de carga elétrica está distribuída por unidade de área no plano. Além disso, vamos calcular a carga total nesse plano fazendo uma integração direta e, por fim, interpretar o resultado usando a Lei de Gauss. Para isso, vamos utilizar conceitos de eletrostática, como campo elétrico, densidade de carga e a própria Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do condutor é zero. Isso ocorre porque as cargas livres no condutor se redistribuem de forma a cancelar qualquer campo interno. No entanto, na superfície do condutor, podemos ter uma densidade de carga $ \sigma $.

Passo 3

Para encontrar a densidade superficial de carga induzida $ \sigma $, consideramos um processo de indução devido a uma carga externa próxima ao plano condutor. A metodologia comum é usar o método das imagens, onde substituímos a presença do condutor por uma carga imaginária que reproduz os efeitos do condutor sobre o campo elétrico.

Passo 4

Vamos supor que há uma carga $ q $ situada a uma distância $ d $ perpendicularmente ao plano condutor. Pelo método das imagens, substituímos o condutor por uma carga imagem $ -q $ situada a uma distância $ d $ do plano, mas do lado oposto. Isso garante que o potencial no plano condutor seja constante (equipotencial).

Passo 5

Agora, o campo elétrico total no espaço acima do plano condutor é a soma dos campos criados pela carga $ q $ e pela carga imagem $ -q $. Na superfície do condutor, apenas a componente perpendicular do campo contribui para a densidade de carga. A densidade superficial de carga induzida $ \sigma $ é então relacionada ao fluxo elétrico através da relação:
q
onde $ E_{\perp} $ é a componente do campo elétrico perpendicular à superfície, e $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 6

Calculando o campo elétrico perpendicular na superfície, temos que devido à simetria, o campo criado pela carga $ q $ na superfície é $ E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 (2d)^2} = \frac{q}{16\pi \epsilon_0 d^2} $. Porém, como temos a carga imagem $ -q $, o campo total na superfície será o dobro desse valor:
q

Passo 7

Substituindo $ E_{\perp} $ na expressão para $ \sigma $:
Eperp
Portanto, a densidade superficial de carga induzida é:
sigma

Passo 8

Para encontrar a carga total $ Q $ no plano condutor, fazemos a integração da densidade superficial sobre toda a área do plano. Considerando que o plano é infinito e a densidade decai com a distância, assumimos uma distribuição simétrica. Contudo, para simplificação, consideramos que a carga total induzida será igual à carga imagem $ -q $, já que a carga total no condutor deve neutralizar a carga externa para manter o campo interno nulo.

Passo 9

Assim, a carga total no plano condutor é:
Q = -q

Passo 10

Interpretando esse resultado com a Lei de Gauss, que afirma que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga total dentro dessa superfície, vemos que a carga induzida no condutor neutraliza exatamente a carga externa, garantindo que não haja campo elétrico dentro do condutor. Isso confirma que a distribuição de cargas induzidas obedece à Lei de Gauss.

Resposta

A densidade superficial de cargas induzidas no plano condutor é $ \sigma = \dfrac{q}{8\pi d^2} $ e a carga total no plano condutor é $ Q = -q $, confirmando a neutralização pela Lei de Gauss.

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