A expressão analítica de um vetor é uma forma de representar um vetor usando coordenadas. Dado um vetor no plano cartesiano, é possível expressá-lo em termos de suas componentes horizontal e vertical, que são as diferenças entre as coordenadas dos pontos inicial e final. No espaço tridimensional, um vetor é expresso em termos de suas componentes x, y e z. As componentes de um vetor podem ser escritas como um conjunto ordenado de números, frequentemente colocadas entre parênteses ou colchetes. Com base no texto acima e nos conteúdos da unidade, qual das seguintes afirmações é verdadeira em relação à expressão analítica de um vetor? Selecione uma alternativa: a) A expressão analítica de um vetor no plano cartesiano sempre tem uma única componente. B) A expressão analítica de um vetor no espaço tridimensional possui apenas componentes x e y. C) A expressão analítica de um vetor no plano cartesiano pode ser escrita como left parenthesis x subscript 2 – x subscript 1 comma y subscript 2 – y subscript 1 right parenthesis. Space d) A expressão analítica de um vetor no plano cartesiano sempre possui componentes negativas. E) A expressão analítica de um vetor no espaço tridimensional é representada por um conjunto desordenado de números
Passo 1
Então, temos uma questão sobre vetores e como eles são representados analiticamente tanto no plano cartesiano quanto no espaço tridimensional. Precisamos entender como as componentes de um vetor são determinadas e identificar qual das alternativas apresentadas está correta com base nessa representação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um vetor. Um vetor é uma grandeza que possui magnitude (ou tamanho) e direção. No plano cartesiano, um vetor é representado por suas componentes horizontal (x) e vertical (y), que são as diferenças entre as coordenadas dos pontos inicial e final do vetor.
Passo 3
A expressão analítica de um vetor no plano cartesiano pode ser escrita como um par ordenado
, onde:
-
(diferença das coordenadas horizontais) -
(diferença das coordenadas verticais)
Isso significa que estamos calculando quanto o vetor se move na direção horizontal e na direção vertical a partir do ponto inicial até o ponto final.
Passo 4
No espaço tridimensional, um vetor possui uma componente adicional: a componente z, que representa a diferença na direção perpendicular ao plano cartesiano. A expressão analítica de um vetor nesse espaço é
, onde:
Passo 5
Agora, vamos analisar as alternativas:
-
Alternativa a): Diz que no plano cartesiano o vetor sempre tem uma única componente. Isso está errado porque, como vimos, no plano temos duas componentes: x e y.
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Alternativa b): Afirma que no espaço tridimensional o vetor possui apenas componentes x e y. Errado novamente, pois no espaço 3D temos x, y e z.
-
Alternativa c): Afirma que no plano cartesiano a expressão analítica do vetor pode ser escrita como
. Isso está correto, exatamente como definimos. -
Alternativa d): Diz que no plano cartesiano o vetor sempre possui componentes negativas. Isso não é verdade, pois as componentes podem ser positivas ou negativas, dependendo da direção do vetor.
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Alternativa e): Afirma que no espaço tridimensional a expressão analítica do vetor é um conjunto desordenado de números. Errado, pois as componentes são ordenadas em
.
Resposta
A alternativa c) está correta.