Sabe-se que é possível encontrar a solução de um sistema de equações lineares através do método da decomposição LU. Desse modo, considere o sistema open curly brackets table row cell x plus 3 y minus z equals 0 end cell row cell 2 x plus y plus z equals 1 end cell row cell 3 x minus y plus z equals 3 end cell end table close. Assinale a alternativa que contém a solução correta para o sistema. Escolha uma: a. S equals open curly brackets open parentheses 1 comma fraction numerator negative 1 over denominator 2 end fraction comma fraction numerator negative 1 over denominator 2 end fraction close parentheses close curly brackets b. S equals open curly brackets open parentheses 1 comma 1 half comma 1 half close parentheses close curly brackets c. S equals open curly brackets open parentheses 1 comma 1 half comma fraction numerator negative 1 over denominator 2 end fraction close parentheses close curly brackets d. S equals open curly brackets open parentheses 1 comma negative 1 comma negative 1 close parentheses close curly brackets e. S equals open curly brackets open parentheses 1 comma fraction numerator negative 1 over denominator 2 end fraction comma 1 half close parentheses close curly brackets

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de decomposição LU. Basicamente, a gente tem três equações com três incógnitas (x, y e z) e precisamos encontrar os valores que satisfazem todas elas. Pra isso, vamos dividir o processo em etapas bem claras.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
x + 3y - z = 0 2x + y + z = 1 3x - y + z = 3
Nosso objetivo é encontrar os valores de x, y e z que resolvem todas essas equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos começar isolando uma das variáveis em uma das equações. Olhando para a primeira equação, podemos isolar o x:
x = -3y + z
Agora, usamos essa expressão para substituir o x nas outras duas equações.

Passo 4

Substituindo x = -3y + z na segunda equação:
2(-3y + z) + y + z = 1 -6y + 2z + y + z = 1 -5y + 3z = 1 (chamamos essa de Equação 4) çã

Passo 5

Fazendo a mesma substituição na terceira equação:
3(-3y + z) - y + z = 3 -9y + 3z - y + z = 3 -10y + 4z = 3 (chamamos essa de Equação 5) çã

Passo 6

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
-5y + 3z = 1 (Equação 4) -10y + 4z = 3 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, multiplicamos a Equação 4 por 2 para facilitar a eliminação:
-10y + 6z = 2 (Equação 6) çã

Passo 7

Subtraindo a Equação 5 da Equação 6:
(-10y + 6z) - (-10y + 4z) = 2 - 3 0y + 2z = -1 2z = -1 z = -12

Passo 8

Com o valor de z, vamos voltar para a Equação 4 para encontrar y:
-5y + 3(-12) = 1 -5y - 32 = 1 -5y = 1 + 32 -5y = 52 y = -52 div 5 y = -12

Passo 9

Agora que temos y = -12 e z = -12, vamos encontrar x usando a expressão que isolamos no Passo 3:
x = -3(-12) + (-12) x = 32 - 12 x = 1

Resposta

A solução correta para o sistema é S = (1, -12, -12), ou seja, a alternativa a.

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