Expresse como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras. é limitada pelas retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar a região delimitada pelas retas , e de duas formas diferentes: como uma região do tipo I e do tipo II. Depois disso, vamos calcular a integral dupla de ambas as maneiras. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para cada tipo e aplicar as integrais duplas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma região do tipo I e do tipo II.
Tipo I: A região é descrita com variando de um valor constante a outro, e para cada , varia entre duas funções de .
Tipo II: A região é descrita com variando de um valor constante a outro, e para cada , varia entre duas funções de .
Passo 3
Vamos esboçar as retas que limitam :
: é uma reta diagonal passando pela origem.
: é o eixo .
: é uma linha vertical.
Essas retas formam um triângulo com vértices em , e .
Passo 4
Região Tipo I:
Aqui, queremos descrever com variando de um valor a outro, e variando entre funções de .
varia de 0 a 1.
Para cada , varia de 0 (linha ) até .
Então, os limites são:
Passo 5
Região Tipo II:
Agora, vamos descrever com variando de um valor a outro, e variando entre funções de .
varia de 0 a 1.
Para cada , varia da linha vertical até a reta .
Note que para cada , começa em e vai até 1.
Então, os limites são:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral dupla usando ambos os tipos.
Integral Tipo I:
Usando os limites de Tipo I:
Vamos integrar primeiro em relação a :
Agora, integraremos em relação a :
Integral Tipo II:
Usando os limites de Tipo II:
Vamos integrar primeiro em relação a :
Agora, integraremos em relação a :
Resposta
A integral dupla vale quando calculada tanto como Região Tipo I quanto como Região Tipo II.