Expresse como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras. é limitada pelas retas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar a região delimitada pelas retas , e de duas formas diferentes: como uma região do tipo I e do tipo II. Depois disso, vamos calcular a integral dupla de ambas as maneiras. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para cada tipo e aplicar as integrais duplas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma região do tipo I e do tipo II.
  • Tipo I: A região é descrita com variando de um valor constante a outro, e para cada , varia entre duas funções de .
  • Tipo II: A região é descrita com variando de um valor constante a outro, e para cada , varia entre duas funções de .

Passo 3

Vamos esboçar as retas que limitam :
  1. : é uma reta diagonal passando pela origem.
  2. : é o eixo .
  3. : é uma linha vertical.
Essas retas formam um triângulo com vértices em , e .

Passo 4

Região Tipo I:
Aqui, queremos descrever com variando de um valor a outro, e variando entre funções de .
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 (linha ) até .
Então, os limites são:

Passo 5

Região Tipo II:
Agora, vamos descrever com variando de um valor a outro, e variando entre funções de .
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia da linha vertical até a reta .
Note que para cada , começa em e vai até 1.
Então, os limites são:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral dupla usando ambos os tipos.
Integral Tipo I:
Usando os limites de Tipo I:
Vamos integrar primeiro em relação a :
Agora, integraremos em relação a :
Integral Tipo II:
Usando os limites de Tipo II:
Vamos integrar primeiro em relação a :
Agora, integraremos em relação a :

Resposta

A integral dupla vale quando calculada tanto como Região Tipo I quanto como Região Tipo II.

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c) Para uma distancia mostre que as seguintes relações são válidas:
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Amplitude da pressão
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b) Qual a mais alta nota para a qual ocorre a maior interferência destrutiva? Resposta:
c) Qual a mais baixa nota para a qual ocorre a maior interferência construtiva? Resposta:
d) Qual a mais alta nota para a qual ocorre a maior interferência construtiva? Resposta: .