Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras. integral duplaD x d A, D é limitada pelas retas y=x, y=0, x=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar a região delimitada pelas retas , e de duas formas diferentes: como uma região do tipo I e do tipo II. Depois disso, vamos calcular a integral dupla de ambas as maneiras. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para cada tipo e aplicar as integrais duplas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma região do tipo I e do tipo II.
  • Tipo I: A região é descrita com variando de um valor constante a outro, e para cada , varia entre duas funções de .
  • Tipo II: A região é descrita com variando de um valor constante a outro, e para cada , varia entre duas funções de .

Passo 3

Vamos esboçar as retas que limitam :
  1. : é uma reta diagonal passando pela origem.
  2. : é o eixo .
  3. : é uma linha vertical.
Essas retas formam um triângulo com vértices em , e .

Passo 4

Região Tipo I:
Aqui, queremos descrever 0 <= x <= 1 com 0 <= y <= x variando de um valor a outro, e variando entre funções de .
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 (linha ) até .
Então, os limites são:

Passo 5

Região Tipo II:
Agora, vamos descrever 0 <= y <= 1 com y <= x <= 1 variando de um valor a outro, e variando entre funções de .
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia da linha vertical até a reta .
Note que para cada , começa em e vai até 1.
Então, os limites são:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral dupla integral duplaD x , dA = integral0^1 integral0^x x , dy , dx usando ambos os tipos.
Integral Tipo I:
Usando os limites de Tipo I:
integral0^x x , dy = x cdot y g|0^x = x cdot x - x cdot 0 = x^2
Vamos integrar primeiro em relação a integral0^1 x^2 , dx = x^33 g|0^1 = 13 - 0 = 13 :
integral duplaD x , dA = integral0^1 integraly^1 x , dx , dy
Agora, integraremos em relação a integraly^1 x , dx = x^22 g|y^1 = 12 - y^22 = 1 - y^22 :
integral0^1 1 - y^22 , dy = 12 ( integral0^1 1 , dy - integral0^1 y^2 , dy )
Integral Tipo II:
Usando os limites de Tipo II:
= 12 ( y g|0^1 - y^33 g|0^1 )
Vamos integrar primeiro em relação a = 12 ( 1 - 0 - 13 + 0 ) = 12 cdot 23 = 13 :
Agora, integraremos em relação a :

Resposta

A integral dupla vale quando calculada tanto como Região Tipo I quanto como Região Tipo II.

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