a) Mostre que a intensidade das ondas sonoras na superfície do balão pode ser calculada pela equação: I=2 pi^2 raizrho B f^2(De
b) A potência acústica total emitida pelo balão é dada por: P pot =8 pi^3 raizrho B f^2 R^2(De
c) Para uma distancia d gg R mostre que as seguintes relações são válidas:
Amplitude do deslocamento =(R / d) De
Amplitude da pressão =2 pi raizrho B(R f / d) De
Intensidade =2 pi^2 raizrho B(R f / d)^2(De

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que fala sobre ondas sonoras em balões. A gente vai trabalhar com intensidade das ondas, potência acústica e algumas relações envolvendo amplitude, pressão e intensidade a uma certa distância. Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas que ligam esses conceitos e aplicar um pouco de matemática envolvendo frequências e propriedades dos materiais. Vamos destrinchar cada parte do exercício passo a passo!

Passo 2

Parte a) Calculando a Intensidade das Ondas Sonoras

Primeiro, vamos mostrar que a intensidade das ondas sonoras na superfície do balão pode ser calculada pela equação:
I = 2 pi^2 raizrho B f^2 (De
Entendendo os Componentes:
  • Intensidade (I): É a quantidade de energia que a onda transporta por unidade de área por segundo.
  • I = PA : Densidade do ar.
  • P = 8 pi^3 raizrho B f^2 R^2 (De: Modulo de compressibilidade do ar.
  • I = 8 pi^3 raizrho B f^2 R^2 (De: Frequência da onda sonora.
  • : Amplitude do deslocamento do balão.
Passo a Passo:
  1. Expressão Geral da Intensidade:
    A intensidade de uma onda é dada por:
    Onde é a potência e é a área.
  2. Relacionando Potência e Amplitude:
    A potência está relacionada com a energia transportada pela onda e, neste caso, depende da amplitude do deslocamento .
  3. Expressão Específica para Ondas Sonoras no Balão:
    Considerando as propriedades do balão e do ar, a potência pode ser expressa como:
    A área da superfície do balão é .
  4. Calculando a Intensidade:
    Substituindo e na fórmula de :
    E pronto, chegamos à equação desejada!

Passo 3

Parte b) Calculando a Potência Acústica Total Emitida pelo Balão

Agora, vamos mostrar que a potência acústica total emitida pelo balão é dada por:
Ppot = 8 pi^3 raizrho B f^2 R^2 (De
Entendendo os Componentes:
  • Potência Acústica Total ( P = I times A ): Energia por unidade de tempo emitida em forma de som.
  • Os demais símbolos são os mesmos da parte anterior.
Passo a Passo:
  1. Relacionando com a Intensidade:
    Sabemos que:
    P = 2 pi^2 raizrho B f^2 (De
    Onde é a área da superfície do balão.
  2. Calculando a Área do Balão:
    A área de uma esfera é .
  3. Usando a Intensidade da Parte a):
    Substituindo na fórmula da potência:
    E aí está a expressão da potência acústica total emitida pelo balão!

Passo 4

Parte c) Relações para Amplitude do deslocamento = (Rd) De

Vamos mostrar que, para uma distância Amplitude da pressão = 2 pi raizrho B (R fd) De muito maior que o raio do balão I = 2 pi^2 raizrho B (R fd)^2 (De, as seguintes relações são válidas:
  1. Amplitude do deslocamento:
  2. Amplitude da pressão:
    ã
  3. Intensidade:
Entendendo os Componentes:
  • : Distância onde estamos calculando as grandezas.
  • As demais variáveis já foram explicadas anteriormente.
Passo a Passo:
  1. Amplitude do Deslocamento:
    • Por que ? Quando a distância é muito maior que , a amplitude do deslocamento diminui proporcionalmente a .
    • Assim, multiplicamos por para obter a nova amplitude.
  2. Amplitude da Pressão:
    • A pressão está relacionada à densidade do ar, compressibilidade e amplitude do deslocamento.
    • Incorporamos o fator para ajustar a pressão a distância .
  3. Intensidade:
    • A intensidade depende do quadrado da amplitude da pressão.
    • Como a amplitude da pressão já tem , ao quadrado, fica .
  4. Finalizando as Equações:
    • Substituímos os valores ajustados de deslocamento e pressão nas fórmulas para obter as relações finais.

Resposta

Prontinho! A gente mostrou que:
a) A intensidade das ondas sonoras na superfície do balão é
I = 2 pi^2 raizrho B f^2 (De
b) A potência acústica total emitida pelo balão é
Ppot = 8 pi^3 raizrho B f^2 R^2 (De
c) Para uma distância muito maior que o raio do balão ( Amplitude do deslocamento = (Rd) De), as relações valem:
Amplitude da pressão = 2 pi raizrho B (R fd) De
I = 2 pi^2 raizrho B (R fd)^2 (Deã

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