a) Mostre que a intensidade das ondas sonoras na superfície do balão pode ser calculada pela equação:
b) A potência acústica total emitida pelo balão é dada por:
c) Para uma distancia
mostre que as seguintes relações são válidas:
Amplitude do deslocamento
Amplitude da pressão
Intensidade
b) A potência acústica total emitida pelo balão é dada por:
c) Para uma distancia
Amplitude do deslocamento
Amplitude da pressão
Intensidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que fala sobre ondas sonoras em balões. A gente vai trabalhar com intensidade das ondas, potência acústica e algumas relações envolvendo amplitude, pressão e intensidade a uma certa distância. Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas que ligam esses conceitos e aplicar um pouco de matemática envolvendo frequências e propriedades dos materiais. Vamos destrinchar cada parte do exercício passo a passo!
Passo 2
Parte a) Calculando a Intensidade das Ondas Sonoras
Primeiro, vamos mostrar que a intensidade das ondas sonoras na superfície do balão pode ser calculada pela equação:
Entendendo os Componentes:
- Intensidade (I): É a quantidade de energia que a onda transporta por unidade de área por segundo.
-
: Densidade do ar. -
: Modulo de compressibilidade do ar. -
: Frequência da onda sonora. -
: Amplitude do deslocamento do balão.
Passo a Passo:
-
Expressão Geral da Intensidade:
A intensidade de uma onda é dada por:Ondeé a potência e é a área. -
Relacionando Potência e Amplitude:
A potênciaestá relacionada com a energia transportada pela onda e, neste caso, depende da amplitude do deslocamento . -
Expressão Específica para Ondas Sonoras no Balão:
Considerando as propriedades do balão e do ar, a potência pode ser expressa como:A áreada superfície do balão é . -
Calculando a Intensidade:
Substituindoe na fórmula de : E pronto, chegamos à equação desejada!
Passo 3
Parte b) Calculando a Potência Acústica Total Emitida pelo Balão
Agora, vamos mostrar que a potência acústica total emitida pelo balão é dada por:
Entendendo os Componentes:
- Potência Acústica Total (
): Energia por unidade de tempo emitida em forma de som. - Os demais símbolos são os mesmos da parte anterior.
Passo a Passo:
-
Relacionando com a Intensidade:
Sabemos que:Ondeé a área da superfície do balão. -
Calculando a Área do Balão:
A área de uma esfera é. -
Usando a Intensidade da Parte a):
Substituindona fórmula da potência: E aí está a expressão da potência acústica total emitida pelo balão!
Passo 4
Parte c) Relações para
Vamos mostrar que, para uma distância
muito maior que o raio do balão
, as seguintes relações são válidas:
-
Amplitude do deslocamento:
-
Amplitude da pressão:
-
Intensidade:
Entendendo os Componentes:
-
: Distância onde estamos calculando as grandezas. - As demais variáveis já foram explicadas anteriormente.
Passo a Passo:
-
Amplitude do Deslocamento:
- Por que
? Quando a distância é muito maior que , a amplitude do deslocamento diminui proporcionalmente a . - Assim, multiplicamos
por para obter a nova amplitude.
- Por que
-
Amplitude da Pressão:
- A pressão está relacionada à densidade do ar, compressibilidade e amplitude do deslocamento.
- Incorporamos o fator
para ajustar a pressão a distância .
-
Intensidade:
- A intensidade depende do quadrado da amplitude da pressão.
- Como a amplitude da pressão já tem
, ao quadrado, fica .
-
Finalizando as Equações:
- Substituímos os valores ajustados de deslocamento e pressão nas fórmulas para obter as relações finais.
Resposta
Prontinho! A gente mostrou que:
a) A intensidade das ondas sonoras na superfície do balão é
b) A potência acústica total emitida pelo balão é
c) Para uma distância muito maior que o raio do balão (
), as relações valem: