Expresse a função
como uma composta
e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a função
e precisamos expressá-la como uma função composta, ou seja, na forma
. Depois, vamos calcular a derivada dessa função composta,
. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra para separar as funções e depois aplicar a regra da cadeia da derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que vão compor a nossa função original. Pense na função composta como uma função dentro da outra. Vamos definir:
-
: Essa é a parte interna da nossa função. -
: Essa é a parte externa, que recebe o resultado de .
Assim, podemos escrever a função original como
.
Passo 3
Agora que temos
e
definidas, vamos calcular a derivada da função composta
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna. Matematicamente, isso é:
Passo 4
Vamos calcular
e
separadamente:
-
Para
, a derivada é: -
Para
, a derivada é:
Passo 5
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
e
:
Resposta
A derivada da função composta é:
Exercícios relacionados
Utilize o exercício anterior para encontrar
de modo que a equação
tenha uma raiz dupla.
Calcule a derivada indicada em cada caso:
(a) , quando
(b)
© .
(a)
(b)
©
Calcule a derivada
:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Calcule os seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)