Expresse a função como uma composta e calcule .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisamos expressá-la como uma função composta, ou seja, na forma . Depois, vamos calcular a derivada dessa função composta, . Para isso, vamos usar um pouco de álgebra para separar as funções e depois aplicar a regra da cadeia da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que vão compor a nossa função original. Pense na função composta como uma função dentro da outra. Vamos definir:
  • : Essa é a parte interna da nossa função.
  • : Essa é a parte externa, que recebe o resultado de .
Assim, podemos escrever a função original como .

Passo 3

Agora que temos e definidas, vamos calcular a derivada da função composta . Para isso, usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna. Matematicamente, isso é:

Passo 4

Vamos calcular e separadamente:
  • Para , a derivada é:
  • Para , a derivada é:

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia:
Substituindo e :

Resposta

A derivada da função composta é:

Exercícios relacionados

Utilize o exercício anterior para encontrar de modo que a equação tenha uma raiz dupla.
Calcule a derivada indicada em cada caso:
(a) , quando
(b)
© .
Calcule a derivada :
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) .
Calcule os seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) .