Expresse a função (2x + x^2)^6 como uma composta f(g) e calcule (f o g)'(x).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisamos expressá-la como uma função composta, ou seja, na forma . Depois, vamos calcular a derivada dessa função composta, . Para isso, vamos usar um pouco de álgebra para separar as funções e depois aplicar a regra da cadeia da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que vão compor a nossa função original. Pense na função composta como uma função dentro da outra. Vamos definir:
  • : Essa é a parte interna da nossa função.
  • : Essa é a parte externa, que recebe o resultado de .
Assim, podemos escrever a função original como .

Passo 3

Agora que temos e definidas, vamos calcular a derivada da função composta . Para isso, usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna. Matematicamente, isso é:

Passo 4

Vamos calcular e separadamente:
  • Para , a derivada é:
  • Para , a derivada é:

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia:
Substituindo e :

Resposta

A derivada da função composta é:

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