Utilize o exercício anterior para encontrar de modo que a equação tenha uma raiz dupla.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os valores de para que a equação tenha uma raiz dupla. Isso envolve conceitos de álgebra, especificamente sobre raízes múltiplas de polinômios. Precisaremos utilizar derivadas para identificar onde a função tem tangentes horizontais, o que indica possíveis raízes duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a função associada ao polinômio dado:
Para que a equação tenha uma raiz dupla, essa raiz deve ser também uma raiz da derivada da função. Então, vamos calcular a derivada de :

Passo 3

Agora, encontramos os valores de que satisfazem :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, as soluções são:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de que fazem com que ou sejam raízes da equação original .
Para :
Para :

Resposta

Os valores de que fazem a equação ter uma raiz dupla são e .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada indicada em cada caso:
(a) , quando
(b)
© .
Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) Desafio: .
Expresse a função como uma composta e calcule .
Calcule a derivada :
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) .