Utilize o exercício anterior para encontrar
de modo que a equação
tenha uma raiz dupla.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar os valores de
para que a equação
tenha uma raiz dupla. Isso envolve conceitos de álgebra, especificamente sobre raízes múltiplas de polinômios. Precisaremos utilizar derivadas para identificar onde a função tem tangentes horizontais, o que indica possíveis raízes duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a função associada ao polinômio dado:
Para que a equação tenha uma raiz dupla, essa raiz deve ser também uma raiz da derivada da função. Então, vamos calcular a derivada de
:
Passo 3
Agora, encontramos os valores de
que satisfazem
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, as soluções são:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de
que fazem com que
ou
sejam raízes da equação original
.
Para
:
Para
:
Resposta
Os valores de
que fazem a equação
ter uma raiz dupla são
e
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada indicada em cada caso:
(a) , quando
(b)
© .
(a)
(b)
©
Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) Desafio: .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) Desafio:
Expresse a função
como uma composta
e calcule
.
Calcule a derivada
:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)