Utilize o exercício anterior para encontrar lambda in R de modo que a equação x^3 - 3 x^2 - 9 x + lambda = 0 tenha uma raiz dupla.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os valores de para que a equação tenha uma raiz dupla. Isso envolve conceitos de álgebra, especificamente sobre raízes múltiplas de polinômios. Precisaremos utilizar derivadas para identificar onde a função tem tangentes horizontais, o que indica possíveis raízes duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a função associada ao polinômio dado:
Para que a equação tenha uma raiz dupla, essa raiz deve ser também uma raiz da derivada da função. Então, vamos calcular a derivada de :

Passo 3

Agora, encontramos os valores de que satisfazem :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, as soluções são:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de que fazem com que ou sejam raízes da equação original .
Para :
Para :

Resposta

Os valores de que fazem a equação ter uma raiz dupla são e .

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