Exprimir em coordenadas cilíndricas as grandezas:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa expressar o divergente de um vetor
nas coordenadas cilíndricas. Pra isso, vamos usar a fórmula do divergente nesse sistema de coordenadas e aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. O divergente de um vetor mede o quanto ele “se afasta” de um ponto. Em coordenadas cartesianas, a fórmula do divergente de
é:
Passo 3
Agora, nas coordenadas cilíndricas
, as coisas mudam um pouco porque a gente está usando um sistema baseado em círculos. O vetor
pode ser representado como:
Onde
,
e
são as componentes nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 4
A fórmula do divergente em coordenadas cilíndricas é um pouco mais complicada. Ela leva em conta como as coordenadas se expandem ao se mover radial ou angularmente. A fórmula é:
Passo 5
Vamos entender cada termo:
-
: Esse termo considera como a componente radial varia conforme a distância do eixo. -
: Esse termo capta a variação da componente angular conforme o ângulo . -
: Esse termo é igual ao da coordenada cartesiana e mede a variação da componente na direção .
Resposta
Então, em coordenadas cilíndricas, o divergente de
é dado por: