Exprimir em coordenadas cilíndricas as grandezas:
nabla cdot A;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa expressar o divergente de um vetor A nas coordenadas cilíndricas. Pra isso, vamos usar a fórmula do divergente nesse sistema de coordenadas e aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. O divergente de um vetor mede o quanto ele “se afasta” de um ponto. Em coordenadas cartesianas, a fórmula do divergente de A = Ax i + Ay j + Az k é:
nabla cdot A = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z

Passo 3

Agora, nas coordenadas cilíndricas (r, theta, z), as coisas mudam um pouco porque a gente está usando um sistema baseado em círculos. O vetor A pode ser representado como:
A = Ar er + Atheta etheta + Az ez
Onde Ar, Atheta e Az são as componentes nas direções r, theta e z, respectivamente.

Passo 4

A fórmula do divergente em coordenadas cilíndricas é um pouco mais complicada. Ela leva em conta como as coordenadas se expandem ao se mover radial ou angularmente. A fórmula é:
nabla cdot A = 1r partial (r Ar)partial r + 1r partial Athetapartial theta + partial Azpartial z

Passo 5

Vamos entender cada termo:
  1. 1r partial (r Ar)partial r: Esse termo considera como a componente radial Ar varia conforme a distância r do eixo.
  2. 1r partial Athetapartial theta: Esse termo capta a variação da componente angular Atheta conforme o ângulo theta.
  3. partial Azpartial z: Esse termo é igual ao da coordenada cartesiana e mede a variação da componente Az na direção z.

Resposta

Então, em coordenadas cilíndricas, o divergente de A é dado por:
nabla cdot A = 1r partial (r Ar)partial r + 1r partial Athetapartial theta + partial Azpartial z

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