Um circuito paralelo de três ramos, com Z1=25 ang<= 15^circ Omega, Z2=15 ang<= 60^circ Omega, Z3=15 ang<= 90^circ Omega, tem uma tensão aplicada widehatV=339,4 subset-30^circ. Obtenha a potência aparente e o fator de potência.
Sugestão: obtenha a impedância equivalente. O fator de potência será o cosseno do ângulo da impedância. Obtenha a corrente complexa; a potência aparente será o produto da tensão pela corrente conjugado da complexa.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos um circuito paralelo com três ramos, cada um com uma impedância diferente:
  • $ \hat{Z}_{1}=25 \angle 15^{\circ} , \Omega $
  • $ \hat{Z}_{2}=15 \angle 60^{\circ} , \Omega $
  • $ \hat{Z}_{3}=15 \angle 90^{\circ} , \Omega $
Além disso, uma tensão aplicada de $ \widehat{V}=339,4 \angle -30^{\circ} $ está sendo fornecida. A gente precisa encontrar:
  1. A potência aparente
  2. O fator de potência
Pra resolver isso, vamos precisar:
  • Calcular a impedância equivalente do circuito paralelo
  • Usar a definição de potência aparente e fator de potência

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a impedância equivalente $ \hat{Z}_{eq} $ para os três ramos em paralelo. Em circuitos paralelos, a impedância equivalente pode ser encontrada usando a fórmula:
Zeq

Passo 3

Vamos calcular cada termo separadamente. Precisamos inverter cada impedância:
1Z1 = 125 ang<= 15^circ = 0,04 ang<= -15^circ , S
1Z2 = 115 ang<= 60^circ = 115 ang<= -60^circ approx 0,0667 ang<= -60^circ , S
1Z3 = 115 ang<= 90^circ = 115 ang<= -90^circ approx 0,0667 ang<= -90^circ , S

Passo 4

Agora, somamos essas admitâncias:
1Zeq = 0,04 ang<= -15^circ + 0,0667 ang<= -60^circ + 0,0667 ang<= -90^circ
Para somar números complexos, é mais fácil converter para forma retangular:
0,04 ang<= -15^circ = 0,04 cos(-15^circ) + j , 0,04 sin(-15^circ) approx 0,0389 - j0,0103
0,0667 ang<= -60^circ = 0,0667 cos(-60^circ) + j , 0,0667 sin(-60^circ) approx 0,0333 - j0,0577
0,0667 ang<= -90^circ = 0,0667 cos(-90^circ) + j , 0,0667 sin(-90^circ) approx 0 - j0,0667
Somando tudo:
0,0389 - j0,0103 + 0,0333 - j0,0577 + 0 - j0,0667 = 0,0722 - j0,1347 , S

Passo 5

Agora, para achar $ \hat{Z}_{eq} $, a gente inverte essa soma:
Zeq
Para inverter um número complexo, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Zeq = 10,0722 - j0,1347
Convertendo para forma polar:
Zeq = 1 times (0,0722 + j0,1347)(0,0722)^2 + (0,1347)^2 approx 0,0722 + j0,13470,005215 + 0,01817 = 0,0722 + j0,13470,023385 approx 3,09 + j5,76 , Omega
|Zeq| = raiz3,09^2 + 5,76^2 approx 6,43 , Omega
Então,
thetaeq = tan^-1(5,763,09) approx 61,5^circ

Passo 6

Agora que temos a impedância equivalente, podemos encontrar a corrente total no circuito. Usamos a relação de Ohm para circuitos de corrente alternada:
I = widehatVZeq = 339,4 ang<= -30^circ6,43 ang<= 61,5^circ = 339,46,43 ang<= (-30^circ - 61,5^circ) approx 52,82 ang<= -91,5^circ , A

Passo 7

A potência aparente $ S $ é dada pelo produto da tensão pela corrente conjugada:
S
O módulo da potência aparente é:
S = widehatV times I^* = 339,4 ang<= -30^circ times 52,82 ang<= 91,5^circ = 339,4 times 52,82 ang<= ( -30^circ + 91,5^circ) approx 17940 ang<= 61,5^circ , VA

Passo 8

O fator de potência (FP) é o cosseno do ângulo da impedância equivalente:
FP = cos(thetaeq) = cos(61,5^circ) approx 0,48

Resposta

A potência aparente é de aproximadamente $ 17940 , VA $ e o fator de potência é $ 0,48 $.

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