A extremidade de uma haste de madeira cilíndrica é conectada a um pedaço de chumbo, de forma que ela flutue verticalmente na água. O comprimento da parte submersa é
. A haste é posta para oscilar verticalmente. Despreze o efeito amortecedor da água.
(a) Mostre que a oscilação é harmônica simples.
(b) Encontre o período de oscilação. Resposta: 3,17 s.
(a) Mostre que a oscilação é harmônica simples.
(b) Encontre o período de oscilação. Resposta: 3,17 s.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma haste de madeira cilíndrica conectada a um pedaço de chumbo que flutua verticalmente na água. A parte submersa dessa haste tem um comprimento de
. Quando a haste é posta para oscilar verticalmente, queremos:
a) Mostrar que essa oscilação é harmônica simples.
b) Encontrar o período de oscilação, que já sabemos ser 3,17 s.
b) Encontrar o período de oscilação, que já sabemos ser 3,17 s.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre equilíbrio de fluidos e movimento harmônico simples.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte (a). Para mostrar que a oscilação é harmônica simples, precisamos verificar se a força restauradora que age sobre o sistema é proporcional ao deslocamento e está na direção oposta, seguindo a forma
.
Quando a haste oscila, a força de empuxo varia com a posição, criando uma força restauradora que traz a haste de volta ao ponto de equilíbrio. Essa relação linear entre força e deslocamento caracteriza o movimento harmônico simples.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b) e calcular o período de oscilação. O período
de um movimento harmônico simples pode ser encontrado usando a fórmula:
Onde:
-
é a massa efetiva do sistema. -
é a constante elástica, que, no caso da oscilação na água, está relacionada à densidade do fluido e ao comprimento submerso.
No contexto do equilíbrio de fluidos, a constante
pode ser expressa como:
Onde:
-
é a densidade da água ( ). -
é a aceleração da gravidade ( ). -
é a área da seção transversal da haste.
Para simplificar, considerando que a massa efetiva
está relacionada ao peso do chumbo conectado à haste, podemos reescrever o período como:
Passo 4
Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
Calculando o valor dentro da raiz quadrada:
Multiplicando por
:
Resposta
O período de oscilação é
.