Uma tubulação de vapor é envolvida por uma camada de isolamento térmico cujos raios interno e externo são ri e re, respectivamente. Em um dado instante do tempo, a distribuição de temperatura no isolamento tem a forma
T(r)=C1 ln (rre)+C2
O sistema encontra-se em regime estacionário ou transiente? Como variam o fluxo de calor e a taxa de transferência de calor em função do raio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma tubulação de vapor que tem uma camada de isolamento térmico com raios internos ri e externos re. A distribuição de temperatura nessa camada é dada por uma função logarítmica. Precisamos descobrir se o sistema está em regime estacionário ou transiente e entender como o fluxo de calor e a taxa de transferência de calor variam com o raio. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especialmente no contexto de condução térmica em geometria cilíndrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a diferença entre regimes estacionário e transiente. Em um regime estacionário, as temperaturas não mudam com o tempo; ou seja, o sistema está em equilíbrio térmico. Já no regime transiente, as temperaturas variam com o tempo, indicando que o sistema ainda está se ajustando para atingir o equilíbrio.

Passo 3

A função de temperatura dada é:
T(r) = C1 ln(rre) + C2
Essa expressão não tem nenhum termo que dependa do tempo, o que sugere que a distribuição de temperatura é estática, ou seja, não está mudando com o tempo.

Passo 4

Portanto, como a temperatura não varia com o tempo, concluímos que o sistema está em regime estacionário.

Passo 5

Agora, vamos analisar como o fluxo de calor e a taxa de transferência de calor variam com o raio r.
O fluxo de calor em condução para sistemas cilíndricos é dado pela Lei de Fourier para condução em coordenadas cilíndricas:
q(r) = -k dTdr
Onde:
  • q(r) é o fluxo de calor por unidade de área na posição r,
  • k é a condutividade térmica do material isolante.

Passo 6

Vamos derivar a função de temperatura em relação a r:
dTdr = C1 cdot 1r
Então, substituindo na expressão do fluxo de calor:
q(r) = -k cdot C1r = -k C1r
Isso mostra que o fluxo de calor varia inversamente com o raio r.

Passo 7

A taxa de transferência de calor Q através da camada de isolamento pode ser calculada multiplicando o fluxo de calor pela área através da qual o calor está sendo transferido. Em coordenadas cilíndricas, a área diferencial é:
dA = 2pi r L
Onde L é o comprimento da tubulação. Assim, a taxa de transferência de calor é:
Q(r) = q(r) cdot 2pi r L = -k C1r cdot 2pi r L = -2pi k C1 L
Observe que o resultado não depende de r, o que indica que a taxa de transferência de calor é constante em todo o isolamento.

Resposta

O sistema está em regime estacionário, e o fluxo de calor varia inversamente com o raio r, ou seja, q(r) propto 1r. Já a taxa de transferência de calor permanece constante em função do raio.

Exercícios relacionados