Uma tubulação de vapor é envolvida por uma camada de isolamento térmico cujos raios interno e externo são
e
, respectivamente. Em um dado instante do tempo, a distribuição de temperatura no isolamento tem a forma
O sistema encontra-se em regime estacionário ou transiente? Como variam o fluxo de calor e a taxa de transferência de calor em função do raio?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma tubulação de vapor que tem uma camada de isolamento térmico com raios internos
e externos
. A distribuição de temperatura nessa camada é dada por uma função logarítmica. Precisamos descobrir se o sistema está em regime estacionário ou transiente e entender como o fluxo de calor e a taxa de transferência de calor variam com o raio. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especialmente no contexto de condução térmica em geometria cilíndrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a diferença entre regimes estacionário e transiente. Em um regime estacionário, as temperaturas não mudam com o tempo; ou seja, o sistema está em equilíbrio térmico. Já no regime transiente, as temperaturas variam com o tempo, indicando que o sistema ainda está se ajustando para atingir o equilíbrio.
Passo 3
A função de temperatura dada é:
Essa expressão não tem nenhum termo que dependa do tempo, o que sugere que a distribuição de temperatura é estática, ou seja, não está mudando com o tempo.
Passo 4
Portanto, como a temperatura não varia com o tempo, concluímos que o sistema está em regime estacionário.
Passo 5
Agora, vamos analisar como o fluxo de calor e a taxa de transferência de calor variam com o raio
.
O fluxo de calor em condução para sistemas cilíndricos é dado pela Lei de Fourier para condução em coordenadas cilíndricas:
Onde:
-
é o fluxo de calor por unidade de área na posição , -
é a condutividade térmica do material isolante.
Passo 6
Vamos derivar a função de temperatura em relação a
:
Então, substituindo na expressão do fluxo de calor:
Isso mostra que o fluxo de calor varia inversamente com o raio
.
Passo 7
A taxa de transferência de calor
através da camada de isolamento pode ser calculada multiplicando o fluxo de calor pela área através da qual o calor está sendo transferido. Em coordenadas cilíndricas, a área diferencial é:
Onde
é o comprimento da tubulação. Assim, a taxa de transferência de calor é:
Observe que o resultado não depende de
, o que indica que a taxa de transferência de calor é constante em todo o isolamento.
Resposta
O sistema está em regime estacionário, e o fluxo de calor varia inversamente com o raio
, ou seja,
. Já a taxa de transferência de calor permanece constante em função do raio.