Uma salsicha pode ser considerada como um cilindro de 12 cm de comprimento e 2 cm de diâmetro, cujas propriedades são:
. Uma salsicha está inicialmente a
e é colocada para ferver em água a
. Considerando que o coeficiente de transferência de calor na superfície da salsicha é
, determine a temperatura no centro da salsicha após 5, 10 e 15 min , tratando-a como: (a) cilindro finito, (b) cilindro infinito.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Temos uma salsicha que é modelada como um cilindro de 12 cm de comprimento e 2 cm de diâmetro. Queremos descobrir qual será a temperatura no centro dessa salsicha depois de 5, 10 e 15 minutos, quando ela é colocada para ferver em água a 100°C. Vamos tratar a salsicha como (a) um cilindro finito e (b) um cilindro infinito. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor e as fórmulas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. O comprimento da salsicha é 12 cm, que é 0,12 metros. O diâmetro é 2 cm, então o raio
é 1 cm ou 0,01 metros.
Passo 3
Para resolver esse problema, precisamos usar a equação da condução de calor para um cilindro. A fórmula varia dependendo de estarmos tratando o cilindro como finito ou infinito. Vamos começar pelo cilindro infinito, que simplifica um pouco as coisas.
Passo 4
Cilindro Infinito:
Quando tratamos o cilindro como infinito, assumimos que seu comprimento é muito maior que seu diâmetro, de modo que as extremidades não afetam a transferência de calor. Nesse caso, podemos usar a solução de temperatura central para um cilindro infinito:
Onde:
-
é a temperatura no centro ( ) no tempo . -
é a temperatura inicial. -
é a diferença de temperatura entre a água e a salsicha. -
é a difusividade térmica. -
é o tempo.
Passo 5
Vamos identificar os valores dados:
-
- Temperatura da água
- Diferença de temperatura
- Difusividade térmica
- Tempo
em segundos (5, 10, 15 minutos = 300, 600, 900 segundos)
Passo 6
Agora, vamos calcular a temperatura no centro da salsicha usando a fórmula para o cilindro infinito. Como estamos interessados no centro (
), a fórmula simplifica para:
Passo 7
Vamos calcular para cada tempo:
Para 5 minutos (300 segundos):
Calculando o expoente:
Para 10 minutos (600 segundos):
Para 15 minutos (900 segundos):
Resposta
Tratando a salsicha como um cilindro infinito, a temperatura no centro após:
- 5 minutos é aproximadamente 47,1°C,
- 10 minutos é aproximadamente 70,9°C,
- 15 minutos é aproximadamente 84,1°C.