Uma salsicha pode ser considerada como um cilindro de 12 cm de comprimento e 2 cm de diâmetro, cujas propriedades são: rho=980 kg / m^3 ; cp=3,9 kJ / kg- ^circ C ; alpha=1,99 times 10^-7 m^2 / s. Uma salsicha está inicialmente a 4^circ C e é colocada para ferver em água a 100^circ C. Considerando que o coeficiente de transferência de calor na superfície da salsicha é 680 W / m^2 ^circ C, determine a temperatura no centro da salsicha após 5, 10 e 15 min , tratando-a como: (a) cilindro finito, (b) cilindro infinito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Temos uma salsicha que é modelada como um cilindro de 12 cm de comprimento e 2 cm de diâmetro. Queremos descobrir qual será a temperatura no centro dessa salsicha depois de 5, 10 e 15 minutos, quando ela é colocada para ferver em água a 100°C. Vamos tratar a salsicha como (a) um cilindro finito e (b) um cilindro infinito. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor e as fórmulas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. O comprimento da salsicha é 12 cm, que é 0,12 metros. O diâmetro é 2 cm, então o raio é 1 cm ou 0,01 metros.

Passo 3

Para resolver esse problema, precisamos usar a equação da condução de calor para um cilindro. A fórmula varia dependendo de estarmos tratando o cilindro como finito ou infinito. Vamos começar pelo cilindro infinito, que simplifica um pouco as coisas.

Passo 4

Cilindro Infinito:
Quando tratamos o cilindro como infinito, assumimos que seu comprimento é muito maior que seu diâmetro, de modo que as extremidades não afetam a transferência de calor. Nesse caso, podemos usar a solução de temperatura central para um cilindro infinito:
Theta(r,t) = Thetai - De
Onde:
  • é a temperatura no centro ( ) no tempo .
  • é a temperatura inicial.
  • é a diferença de temperatura entre a água e a salsicha.
  • é a difusividade térmica.
  • é o tempo.

Passo 5

Vamos identificar os valores dados:
  • Temperatura da água á
  • Diferença de temperatura
  • Difusividade térmica
  • Tempo em segundos (5, 10, 15 minutos = 300, 600, 900 segundos)

Passo 6

Agora, vamos calcular a temperatura no centro da salsicha usando a fórmula para o cilindro infinito. Como estamos interessados no centro ( Theta(0,t) = 100 - 96 cdot exp(-alpha t(0,01)^2) ), a fórmula simplifica para:

Passo 7

Vamos calcular para cada tempo:
Para 5 minutos (300 segundos):
Theta(0,300) = 100 - 96 cdot exp(-1,99 times 10^-7 times 3000,0001)
Calculando o expoente:
-1,99 times 10^-7 times 3000,0001 = -0,597
Theta(0,300) = 100 - 96 cdot e^-0,597 approx 100 - 96 cdot 0,551 approx 100 - 52,896 approx 47,104^circC
Para 10 minutos (600 segundos):
Theta(0,600) = 100 - 96 cdot exp(-1,99 times 10^-7 times 6000,0001) approx 100 - 96 cdot e^-1,194 approx 100 - 96 cdot 0,303 approx 100 - 29,088 approx 70,912^circC
Para 15 minutos (900 segundos):
Theta(0,900) = 100 - 96 cdot exp(-1,99 times 10^-7 times 9000,0001) approx 100 - 96 cdot e^-1,793 approx 100 - 96 cdot 0,166 approx 100 - 15,936 approx 84,064^circC

Resposta

Tratando a salsicha como um cilindro infinito, a temperatura no centro após:
  • 5 minutos é aproximadamente 47,1°C,
  • 10 minutos é aproximadamente 70,9°C,
  • 15 minutos é aproximadamente 84,1°C.

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