As extremidades de um fio de comprimento 10 cm percorrido por uma corrente constante
estão posicionadas em dois pontos do eixo
0 e
. Se o fio está no plano
e dentro de um campo magnético
, qual dos arranjos a seguir produz uma grande força magnética no fio: (a) fio em forma de V com os vértices em
e
, (b) fio que se assemelha a um retângulo aberto com vértices em
, 2),
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio de 10 cm de comprimento que está posicionado no plano x-y, entre os pontos x = 0 cm e x = 6 cm no eixo x. Esse fio está percorrido por uma corrente constante
e está dentro de um campo magnético uniforme
. A questão quer saber qual dos dois arranjos propostos gera a maior força magnética no fio:
a) Um fio em forma de V com vértices em (0,0), (3,4) e (6,0).
b) Um fio que parece um retângulo aberto com vértices em (0,0), (0,2), (6,2) e (6,0).
Para resolver isso, vamos usar o conceito de força magnética em um fio, que faz parte do conteúdo de Eletromagnetismo, especificamente sobre a força de Lorentz em fios condutores. Precisamos calcular a força magnética em cada segmento de fio para os dois arranjos e ver qual totaliza uma força maior.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da força magnética em um fio:
Aqui,
é a corrente,
é o vetor comprimento do fio na direção da corrente, e
é o campo magnético. O símbolo
representa o produto vetorial, que nos dá a direção e o módulo da força.
Passo 3
Vamos analisar o arranjo a) primeiro: o fio em forma de V com vértices em (0,0), (3,4) e (6,0).
Esse fio tem dois segmentos:
- De (0,0) a (3,4).
- De (3,4) a (6,0).
Vamos calcular a força em cada segmento.
Passo 4
Para o primeiro segmento, de (0,0) a (3,4):
O vetor deslocamento
tem componentes:
Então,
O campo magnético é
.
Calculando o produto vetorial:
Sabemos que
e
. Portanto,
Passo 5
Agora, para o segundo segmento, de (3,4) a (6,0):
O vetor deslocamento
tem componentes:
Então,
Calculando o produto vetorial:
Usando as propriedades dos vetores:
Passo 6
Somando as forças nos dois segmentos do arranjo a):
Passo 7
Agora vamos analisar o arranjo b): o fio em forma de retângulo aberto com vértices em (0,0), (0,2), (6,2) e (6,0).
Esse fio tem três segmentos:
- De (0,0) a (0,2).
- De (0,2) a (6,2).
- De (6,2) a (6,0).
Vamos calcular a força em cada segmento.
Passo 8
Para o primeiro segmento, de (0,0) a (0,2):
O vetor deslocamento
tem componentes:
Então,
Calculando o produto vetorial:
Porque
.
Passo 9
Para o segundo segmento, de (0,2) a (6,2):
O vetor deslocamento
tem componentes:
Então,
Calculando o produto vetorial:
Passo 10
Para o terceiro segmento, de (6,2) a (6,0):
O vetor deslocamento
tem componentes:
Então,
Calculando o produto vetorial:
Mais uma vez, porque
.
Passo 11
Somando as forças nos três segmentos do arranjo b):
Passo 12
Comparando as forças totais dos dois arranjos:
-
Arranjo a):
-
Arranjo b):
Ambos os arranjos produzem a mesma força magnética total no fio.
Resposta
Ambos os arranjos, a) e b), produzem a mesma grande força magnética no fio, igual a
.
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