As extremidades de um fio de comprimento 10 cm percorrido por uma corrente constante estão posicionadas em dois pontos do eixo 0 e . Se o fio está no plano e dentro de um campo magnético , qual dos arranjos a seguir produz uma grande força magnética no fio: (a) fio em forma de V com os vértices em e , (b) fio que se assemelha a um retângulo aberto com vértices em , 2), e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio de 10 cm de comprimento que está posicionado no plano x-y, entre os pontos x = 0 cm e x = 6 cm no eixo x. Esse fio está percorrido por uma corrente constante e está dentro de um campo magnético uniforme . A questão quer saber qual dos dois arranjos propostos gera a maior força magnética no fio:
a) Um fio em forma de V com vértices em (0,0), (3,4) e (6,0).
b) Um fio que parece um retângulo aberto com vértices em (0,0), (0,2), (6,2) e (6,0).
Para resolver isso, vamos usar o conceito de força magnética em um fio, que faz parte do conteúdo de Eletromagnetismo, especificamente sobre a força de Lorentz em fios condutores. Precisamos calcular a força magnética em cada segmento de fio para os dois arranjos e ver qual totaliza uma força maior.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da força magnética em um fio:
Aqui, é a corrente, é o vetor comprimento do fio na direção da corrente, e é o campo magnético. O símbolo representa o produto vetorial, que nos dá a direção e o módulo da força.

Passo 3

Vamos analisar o arranjo a) primeiro: o fio em forma de V com vértices em (0,0), (3,4) e (6,0).
Esse fio tem dois segmentos:
  1. De (0,0) a (3,4).
  2. De (3,4) a (6,0).
Vamos calcular a força em cada segmento.

Passo 4

Para o primeiro segmento, de (0,0) a (3,4):
O vetor deslocamento tem componentes:
Então,
O campo magnético é .
Calculando o produto vetorial:
Sabemos que e . Portanto,

Passo 5

Agora, para o segundo segmento, de (3,4) a (6,0):
O vetor deslocamento tem componentes:
Então,
Calculando o produto vetorial:
Usando as propriedades dos vetores:

Passo 6

Somando as forças nos dois segmentos do arranjo a):

Passo 7

Agora vamos analisar o arranjo b): o fio em forma de retângulo aberto com vértices em (0,0), (0,2), (6,2) e (6,0).
Esse fio tem três segmentos:
  1. De (0,0) a (0,2).
  2. De (0,2) a (6,2).
  3. De (6,2) a (6,0).
Vamos calcular a força em cada segmento.

Passo 8

Para o primeiro segmento, de (0,0) a (0,2):
O vetor deslocamento tem componentes:
Então,
Calculando o produto vetorial:
Porque .

Passo 9

Para o segundo segmento, de (0,2) a (6,2):
O vetor deslocamento tem componentes:
Então,
Calculando o produto vetorial:

Passo 10

Para o terceiro segmento, de (6,2) a (6,0):
O vetor deslocamento tem componentes:
Então,
Calculando o produto vetorial:
Mais uma vez, porque .

Passo 11

Somando as forças nos três segmentos do arranjo b):

Passo 12

Comparando as forças totais dos dois arranjos:
  • Arranjo a):
  • Arranjo b):
Ambos os arranjos produzem a mesma força magnética total no fio.

Resposta

Ambos os arranjos, a) e b), produzem a mesma grande força magnética no fio, igual a .

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