Se a integral de linha de
ao longo de um contorno fechado é zero, deduzimos que
para qualquer ponto do contorno? Em caso negativo, o que isso implica?
Passo 1
Então, a gente tem uma questão que fala sobre a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de um contorno fechado. O enunciado pergunta se, se essa integral for zero, podemos concluir que
é igual a zero em qualquer ponto desse contorno. Se não, o que isso significa? Para resolver, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, campos conservativos e o que implica uma integral nula em contornos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de um contorno fechado. Matemáticamente, isso é representado por:
Essa integral calcula o “trabalho” que o campo
faz ao longo do caminho
.
Passo 3
Quando a integral de linha de
ao longo de um contorno fechado é zero, isso sugere que o campo
é conservativo. Um campo conservativo é aquele para o qual a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. Em termos matemáticos, isso significa que o rotacional de
é zero:
Passo 4
Entretanto, mesmo que a integral de linha seja zero, isso não implica que o campo
é zero em todos os pontos do contorno. O que realmente significa é que
é um campo conservativo, ou seja, ele pode ser derivado de um potencial escalar. Ou seja, existe uma função
tal que:
Passo 5
Portanto, a integral nula indica que o campo
não possui circulação líquida ao redor do contorno fechado, mas não que
seja necessariamente zero em cada ponto desse contorno. O campo pode ter valores diferentes de zero em pontos individuais, desde que a contribuição total ao redor do contorno se anule.
Resposta
Não, não podemos concluir que
em qualquer ponto do contorno. A integral de linha nula indica que o campo
é conservativo, ou seja, não possui circulação líquida ao redor do contorno fechado, mas o campo pode ter valores diferentes de zero em pontos individuais do contorno.
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