Se a integral de linha de H ao longo de um contorno fechado é zero, deduzimos que H=0 para qualquer ponto do contorno? Em caso negativo, o que isso implica?

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que fala sobre a integral de linha de um campo vetorial ao longo de um contorno fechado. O enunciado pergunta se, se essa integral for zero, podemos concluir que é igual a zero em qualquer ponto desse contorno. Se não, o que isso significa? Para resolver, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, campos conservativos e o que implica uma integral nula em contornos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integral de linha de um campo vetorial ointC H cdot dl ao longo de um contorno fechado. Matemáticamente, isso é representado por:
Essa integral calcula o “trabalho” que o campo faz ao longo do caminho .

Passo 3

Quando a integral de linha de nabla times H = 0 ao longo de um contorno fechado é zero, isso sugere que o campo é conservativo. Um campo conservativo é aquele para o qual a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. Em termos matemáticos, isso significa que o rotacional de é zero:

Passo 4

Entretanto, mesmo que a integral de linha seja zero, isso não implica que o campo H = nabla phi é zero em todos os pontos do contorno. O que realmente significa é que é um campo conservativo, ou seja, ele pode ser derivado de um potencial escalar. Ou seja, existe uma função tal que:

Passo 5

Portanto, a integral nula indica que o campo não possui circulação líquida ao redor do contorno fechado, mas não que seja necessariamente zero em cada ponto desse contorno. O campo pode ter valores diferentes de zero em pontos individuais, desde que a contribuição total ao redor do contorno se anule.

Resposta

Não, não podemos concluir que em qualquer ponto do contorno. A integral de linha nula indica que o campo é conservativo, ou seja, não possui circulação líquida ao redor do contorno fechado, mas o campo pode ter valores diferentes de zero em pontos individuais do contorno.

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