Se a integral de linha de ao longo de um contorno fechado é zero, deduzimos que para qualquer ponto do contorno? Em caso negativo, o que isso implica?

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que fala sobre a integral de linha de um campo vetorial ao longo de um contorno fechado. O enunciado pergunta se, se essa integral for zero, podemos concluir que é igual a zero em qualquer ponto desse contorno. Se não, o que isso significa? Para resolver, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, campos conservativos e o que implica uma integral nula em contornos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integral de linha de um campo vetorial ao longo de um contorno fechado. Matemáticamente, isso é representado por:
Essa integral calcula o “trabalho” que o campo faz ao longo do caminho .

Passo 3

Quando a integral de linha de ao longo de um contorno fechado é zero, isso sugere que o campo é conservativo. Um campo conservativo é aquele para o qual a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. Em termos matemáticos, isso significa que o rotacional de é zero:

Passo 4

Entretanto, mesmo que a integral de linha seja zero, isso não implica que o campo é zero em todos os pontos do contorno. O que realmente significa é que é um campo conservativo, ou seja, ele pode ser derivado de um potencial escalar. Ou seja, existe uma função tal que:

Passo 5

Portanto, a integral nula indica que o campo não possui circulação líquida ao redor do contorno fechado, mas não que seja necessariamente zero em cada ponto desse contorno. O campo pode ter valores diferentes de zero em pontos individuais, desde que a contribuição total ao redor do contorno se anule.

Resposta

Não, não podemos concluir que em qualquer ponto do contorno. A integral de linha nula indica que o campo é conservativo, ou seja, não possui circulação líquida ao redor do contorno fechado, mas o campo pode ter valores diferentes de zero em pontos individuais do contorno.

Exercícios relacionados

As extremidades de um fio de comprimento 10 cm percorrido por uma corrente constante estão posicionadas em dois pontos do eixo 0 e . Se o fio está no plano e dentro de um campo magnético , qual dos arranjos a seguir produz uma grande força magnética no fio: (a) fio em forma de V com os vértices em e , (b) fio que se assemelha a um retângulo aberto com vértices em , 2), e .
Encontre o zero da função usando o método do ponto fixo indicado, a partir do ponto inicial . Use , como critério de parada, com no máximo 20 iterações. Em caso de aparente divergência, justifique o ocorrido.
O que descreve a curva de magnetização? Qual a diferença entre as curvas de magnetização de materiais ferromagnéticos fortes e fracos?
Encontre o zero da função usando o método do ponto fixo indicado, a partir do ponto inicial . Use , como critério de parada, com no máximo 20 iterações. Em caso de aparente divergência, justifique o ocorrido.