Se é contínua para , a Transformada de Laplace de é a funçã definida por
e o domínio de é o conjunto de todos os números para os quais a integral converge. Calcule a Transformada de Lplace das seguintes funções:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a Transformada de Laplace da função . A Transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma funções do tempo para o domínio da frequência , e é muito usada em engenharia e matemática para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Laplace:

Passo 2

Primeiro, substituímos a função na fórmula da Transformada de Laplace. Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. A função é uma função exponencial onde é uma constante. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração. Como estamos integrando de 0 até infinito, vamos calcular os limites:

Passo 4

Vamos avaliar os limites:
  • Quando tende ao infinito, tende a 0.
  • Quando , .
Substituindo esses valores:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
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