Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. integral0^infty sin ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a integral integral0^infty sin ^2 x , dx converge ou diverge. Se convergir, a gente também calcula o valor dela. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais impróprias e técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sin^2 x pode ser reescrita usando uma identidade trigonométrica. A identidade é:
sin^2 x = 1 - cos(2x)2
Isso simplifica a integral para:
integral0^infty sin^2 x , dx = integral0^infty 1 - cos(2x)2 , dx = 12 integral0^infty 1 , dx - 12 integral0^infty cos(2x) , dx

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma das integrais separadamente:
  1. Primeira integral: 12 integral0^infty 1 , dx
    A integral de 1 em relação a x de 0 a infinito é simplesmente o limite de x quando vai para infinito, ou seja, infty. Então, essa parte da integral tende a infinito.
  2. Segunda integral: -12 integral0^infty cos(2x) , dx
    A integral de cos(2x) é sin(2x)2. Avaliando de 0 a infinito, temos que sin(2x) oscila entre -1 e 1 indefinidamente conforme x cresce, o que significa que essa integral não converge para um valor fixo.

Passo 4

Como a primeira parte da integral tende a infinito e a segunda parte não converge, o resultado total da integral será a soma de algo que vai para infinito e algo que não tem limite definido. Portanto, a integral integral0^infty sin^2 x , dx não converge, ou seja, ela diverge.

Resposta

A integral integral0^infty sin^2 x , dx é divergente.

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