Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a integral
converge ou diverge. Se convergir, a gente também calcula o valor dela. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais impróprias e técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser reescrita usando uma identidade trigonométrica. A identidade é:
Isso simplifica a integral para:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma das integrais separadamente:
-
Primeira integral:A integral de 1 em relação a x de 0 a infinito é simplesmente o limite de
quando vai para infinito, ou seja, . Então, essa parte da integral tende a infinito. -
Segunda integral:A integral de
é . Avaliando de 0 a infinito, temos que oscila entre -1 e 1 indefinidamente conforme x cresce, o que significa que essa integral não converge para um valor fixo.
Passo 4
Como a primeira parte da integral tende a infinito e a segunda parte não converge, o resultado total da integral será a soma de algo que vai para infinito e algo que não tem limite definido. Portanto, a integral
não converge, ou seja, ela diverge.
Resposta
A integral
é divergente.
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Calcule a integral.
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Se
é contínua para
, a Transformada de Laplace de
é a funçã
definida por
e o domínio de
é o conjunto de todos os números para os quais a integral converge. Calcule a Transformada de Lplace das seguintes funções: