Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a integral converge ou diverge. Se convergir, a gente também calcula o valor dela. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais impróprias e técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pode ser reescrita usando uma identidade trigonométrica. A identidade é:
Isso simplifica a integral para:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma das integrais separadamente:
  1. Primeira integral:
    A integral de 1 em relação a x de 0 a infinito é simplesmente o limite de quando vai para infinito, ou seja, . Então, essa parte da integral tende a infinito.
  2. Segunda integral:
    A integral de é . Avaliando de 0 a infinito, temos que oscila entre -1 e 1 indefinidamente conforme x cresce, o que significa que essa integral não converge para um valor fixo.

Passo 4

Como a primeira parte da integral tende a infinito e a segunda parte não converge, o resultado total da integral será a soma de algo que vai para infinito e algo que não tem limite definido. Portanto, a integral não converge, ou seja, ela diverge.

Resposta

A integral é divergente.

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Se é contínua para , a Transformada de Laplace de é a funçã definida por
e o domínio de é o conjunto de todos os números para os quais a integral converge. Calcule a Transformada de Lplace das seguintes funções: