(a) Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
.
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(a) Encontre os intervalos nos quais
(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que temos é
, e estamos analisando o intervalo de
entre
e
.
Vamos precisar de conhecimentos de cálculo diferencial, como derivadas, para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, encontrar máximos e mínimos locais, e também analisar a concavidade da função e os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a primeira derivada de
. A derivada nos diz a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
Vamos derivar
:
A derivada de
é 1. Para derivar
, lembre-se que:
Aqui,
, então
. Então:
Passo 3
Agora, vamos analisar onde
�� maior ou menor que zero para determinar onde a função é crescente ou decrescente.
Será crescente quando:
E decrescente quando:
Passo 4
Vamos resolver a inequação
:
Sabemos que
, então:
Isso implica que
, ou seja,
está entre -1 e 1.
Passo 5
Para encontrar os intervalos onde isso acontece, precisamos saber quando
está entre -1 e 1 no intervalo dado
.
Sabemos que
, e ela varia com o valor de
. Calculando ou observando o gráfico, identificamos os valores de
que satisfazem essa condição.
Após análise, encontramos que
é crescente no intervalo
e decrescente no intervalo
.
Passo 6
Para encontrar os valores máximos e mínimos locais, olhamos onde a derivada
é zero ou não existe dentro do intervalo dado.
Resolvendo
:
Então:
Isso ocorre quando:
Multiplicando por 2:
Dentro do intervalo
, os valores relevantes são
e
.
Passo 7
Agora, verificamos se esses pontos são máximos ou mínimos. Olhando o comportamento da derivada:
- Em
, a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local. - Em
, a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Passo 8
Para analisar a concavidade e os pontos de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada
.
Começamos com:
A derivada de
é
, então:
Passo 9
Analisamos onde
é positivo ou negativo para determinar a concavidade:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Além disso, pontos onde
muda de sinal são pontos de inflexão.
Passo 10
Após avaliar a segunda derivada no intervalo
, concluímos que:
- A função é côncava para cima em
. - É côncava para baixo em
. - Há um ponto de inflexão em
.
Resposta
(a) A função
é crescente no intervalo
e decrescente no intervalo
.
(b) Há um máximo local em
e um mínimo local em
.
© A função é côncava para cima em
, côncava para baixo em
, com um ponto de inflexão em
.
Exercícios relacionados
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Encontre o limite. Use a Regra de l
Calcule os limites:
Faça o gráfico da função
. A seguir, calcule: