(a) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que temos é , e estamos analisando o intervalo de entre e .
Vamos precisar de conhecimentos de cálculo diferencial, como derivadas, para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, encontrar máximos e mínimos locais, e também analisar a concavidade da função e os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a primeira derivada de . A derivada nos diz a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
Vamos derivar :
A derivada de é 1. Para derivar , lembre-se que:
Aqui, , então . Então:

Passo 3

Agora, vamos analisar onde �� maior ou menor que zero para determinar onde a função é crescente ou decrescente.
Será crescente quando:
E decrescente quando:

Passo 4

Vamos resolver a inequação :
Sabemos que , então:
Isso implica que , ou seja, está entre -1 e 1.

Passo 5

Para encontrar os intervalos onde isso acontece, precisamos saber quando está entre -1 e 1 no intervalo dado .
Sabemos que , e ela varia com o valor de . Calculando ou observando o gráfico, identificamos os valores de que satisfazem essa condição.
Após análise, encontramos que é crescente no intervalo e decrescente no intervalo .

Passo 6

Para encontrar os valores máximos e mínimos locais, olhamos onde a derivada é zero ou não existe dentro do intervalo dado.
Resolvendo :
Então:
Isso ocorre quando:
Multiplicando por 2:
Dentro do intervalo , os valores relevantes são e .

Passo 7

Agora, verificamos se esses pontos são máximos ou mínimos. Olhando o comportamento da derivada:
  • Em , a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local.
  • Em , a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.

Passo 8

Para analisar a concavidade e os pontos de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada .
Começamos com:
A derivada de é , então:

Passo 9

Analisamos onde é positivo ou negativo para determinar a concavidade:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Além disso, pontos onde muda de sinal são pontos de inflexão.

Passo 10

Após avaliar a segunda derivada no intervalo , concluímos que:
  • A função é côncava para cima em .
  • É côncava para baixo em .
  • Há um ponto de inflexão em .

Resposta

(a) A função é crescente no intervalo e decrescente no intervalo .
(b) Há um máximo local em e um mínimo local em .
© A função é côncava para cima em , côncava para baixo em , com um ponto de inflexão em .

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Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Encontre o limite. Use a Regra de l
Calcule os limites:
Faça o gráfico da função . A seguir, calcule: