Se f(varphi)=cos varphi+j sen varphi, demonstre que f(varphi)=e^j varphi.

Passo 1

Então, galera, vamos lá! A gente tem uma função e precisa mostrar que isso é igual a . A matéria aqui envolve números complexos e a fórmula de Euler, que liga funções trigonométricas com exponenciais complexas. Vamos precisar usar a definição de e comparar com a nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler, que diz que para qualquer ângulo e^j varphi = cos varphi + j sen varphi , temos:
Essa fórmula é super útil porque conecta a exponencial complexa com as funções trigonométricas seno e cosseno.

Passo 3

Agora, olha só, a nossa função é exatamente . Se compararmos isso com a fórmula de Euler que acabamos de ver, percebemos que são iguais.

Passo 4

Então, já que e pela fórmula de Euler , concluímos que:
f(varphi) = e^j varphi

Resposta

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