F(x) = 3x² + 12x + 5 quantas raízes diferentes F(x) tem?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função quadrática, que é do tipo $ F(x) = ax^2 + bx + c $. O desafio aqui é descobrir quantas raízes diferentes essa função tem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o discriminante, que vai nos ajudar a determinar quantas soluções a equação quadrática tem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa função quadrática $ F(x) = 3x^2 + 12x + 5 $. Aqui, temos:
  • $ a = 3 $ (o coeficiente de $ x^2 $)
  • $ b = 12 $ (o coeficiente de $ x $)
  • $ c = 5 $ (o termo constante)

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante, que é representado pela letra grega delta ($ \Delta $). A fórmula para calcular o discriminante é:
De
Substituindo os valores que encontramos:
De

Passo 4

Com o valor de $ \Delta = 84 $, a gente analisa quantas raízes a função tem:
  • Se $ \Delta > 0 $, existem duas raízes reais e diferentes.
  • Se $ \Delta = 0 $, existe uma raiz real dupla.
  • Se $ \Delta < 0 $, não existem raízes reais (as raízes são complexas).
No nosso caso, $ \Delta = 84 > 0 $, então a função tem duas raízes diferentes.

Resposta

A função $ F(x) = 3x^2 + 12x + 5 $ tem duas raízes diferentes.

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