Passo 1
Então, a gente tem a função
. Vamos trabalhar com essa função que é um polinômio de segundo grau. Para analisar essa função, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de álgebra, como identificar os coeficientes, calcular o valor da função para diferentes valores de
, e talvez até encontrar a derivada se quisermos saber a taxa de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da função. Em
, temos:
- O termo constante é 5.
- O coeficiente de
é 1. - O coeficiente de
é 3.
Isso significa que a função é um polinômio de segundo grau, também conhecido como uma parábola.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da função para alguns valores de
para entender como ela se comporta. Por exemplo:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 4
Agora, vamos falar sobre a derivada da função, que nos ajuda a entender como a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de
é encontrada usando a regra de derivação para polinômios:
Isso significa que a taxa de variação da função depende de
.
Passo 5
Vamos encontrar onde a derivada é igual a zero para identificar possíveis pontos de máximo ou mínimo:
Então, em
, a função pode atingir um mínimo ou máximo.
Passo 6
Para confirmar se é um mínimo, podemos verificar a concavidade da função olhando a segunda derivada:
Como
, a concavidade é para cima, indicando que
é um ponto de mínimo.
Passo 7
Vamos calcular o valor mínimo da função substituindo
na função original:
Convertendo tudo para doze avos:
Passo 8
Por fim, podemos esboçar o gráfico da função. Sabemos que é uma parábola com concavidade para cima, tem um ponto mínimo em
, e cruza o eixo
em
.
Resposta
A função
tem um ponto mínimo em
com valor mínimo de aproximadamente
.