Passo 1

Então, a gente tem a função . Vamos trabalhar com essa função que é um polinômio de segundo grau. Para analisar essa função, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de álgebra, como identificar os coeficientes, calcular o valor da função para diferentes valores de , e talvez até encontrar a derivada se quisermos saber a taxa de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da função. Em , temos:
  • O termo constante é 5.
  • O coeficiente de é 1.
  • O coeficiente de é 3.
Isso significa que a função é um polinômio de segundo grau, também conhecido como uma parábola.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função para alguns valores de para entender como ela se comporta. Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora, vamos falar sobre a derivada da função, que nos ajuda a entender como a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de é encontrada usando a regra de derivação para polinômios:
Isso significa que a taxa de variação da função depende de .

Passo 5

Vamos encontrar onde a derivada é igual a zero para identificar possíveis pontos de máximo ou mínimo:
Então, em , a função pode atingir um mínimo ou máximo.

Passo 6

Para confirmar se é um mínimo, podemos verificar a concavidade da função olhando a segunda derivada:
Como , a concavidade é para cima, indicando que é um ponto de mínimo.

Passo 7

Vamos calcular o valor mínimo da função substituindo na função original:
Convertendo tudo para doze avos:

Passo 8

Por fim, podemos esboçar o gráfico da função. Sabemos que é uma parábola com concavidade para cima, tem um ponto mínimo em , e cruza o eixo em .

Resposta

A função tem um ponto mínimo em com valor mínimo de aproximadamente .

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