Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a função . O que a gente vai fazer aqui é analisar essa função para entender melhor como ela se comporta. Vamos precisar conhecer conceitos como domínio da função, interceptos (onde ela cruza os eixos), e comportamento geral do gráfico. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função tem uma raiz quadrada, , e a raiz quadrada só está definida para números não negativos. Então, precisamos que:
Além disso, dentro da raiz não pode ficar negativo, mas como já garantimos que é maior ou igual a zero, estão todos os outros componentes da função bem tranquilos. Então, o domínio da função é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde a função cruza os eixos e .
Intercepto com o eixo : Para encontrar onde a função cruza o eixo , substituímos na função.
Então, o intercepto com o eixo é .
Interceptos com o eixo : Para encontrar onde a função cruza o eixo , buscamos os valores de que fazem .
Isso acontece quando:
Então, os interceptos com o eixo são e .

Passo 4

Vamos entender o comportamento da função observando como ela se comporta para diferentes valores de .
Sabemos que o domínio é . Vamos ver alguns pontos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Observamos que conforme aumenta, também aumenta. A função passa por (0,0), desce para baixo até e depois começa a subir.

Passo 5

Vamos calcular a derivada da função para entender onde ela tem máximos ou mínimos, ou seja, onde a função atinge seus pontos mais altos ou mais baixos.
A função é:
Primeiro, vamos reescrever como :
Agora, vamos derivar em relação a :
Simplificando:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Então, a função tem um ponto crítico em . Para verificar se é um máximo ou mínimo, podemos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da derivada.

Passo 6

Vamos verificar o sinal da derivada em torno de :
  • Para , por exemplo :
Então, a derivada é negativa antes de .
  • Para , por exemplo :
Então, a derivada é positiva após .
Isso indica que é um mínimo da função.

Passo 7

Vamos calcular o valor mínimo da função em :
Então, o ponto mínimo da função é .

Resposta

Analisamos a função e descobrimos que:
  • Domínio:
  • Interceptos: e
  • Ponto mínimo:
A função começa no ponto , desce até o ponto mínimo em e depois sobe, cruzando novamente o eixo em e aumentando indefinidamente para maiores.

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