Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou a função
. O que a gente vai fazer aqui é analisar essa função para entender melhor como ela se comporta. Vamos precisar conhecer conceitos como domínio da função, interceptos (onde ela cruza os eixos), e comportamento geral do gráfico. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função tem uma raiz quadrada,
, e a raiz quadrada só está definida para números não negativos. Então, precisamos que:
Além disso, dentro da raiz não pode ficar negativo, mas como já garantimos que
é maior ou igual a zero, estão todos os outros componentes da função bem tranquilos. Então, o domínio da função é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde a função cruza os eixos
e
.
Intercepto com o eixo
: Para encontrar onde a função cruza o eixo
, substituímos
na função.
Então, o intercepto com o eixo
é
.
Interceptos com o eixo
: Para encontrar onde a função cruza o eixo
, buscamos os valores de
que fazem
.
Isso acontece quando:
Então, os interceptos com o eixo
são
e
.
Passo 4
Vamos entender o comportamento da função observando como ela se comporta para diferentes valores de
.
Sabemos que o domínio é
. Vamos ver alguns pontos:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Observamos que conforme
aumenta,
também aumenta. A função passa por (0,0), desce para baixo até
e depois começa a subir.
Passo 5
Vamos calcular a derivada da função para entender onde ela tem máximos ou mínimos, ou seja, onde a função atinge seus pontos mais altos ou mais baixos.
A função é:
Primeiro, vamos reescrever
como
:
Agora, vamos derivar em relação a
:
Simplificando:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Então, a função tem um ponto crítico em
. Para verificar se é um máximo ou mínimo, podemos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da derivada.
Passo 6
Vamos verificar o sinal da derivada em torno de
:
- Para
, por exemplo :
Então, a derivada é negativa antes de
.
- Para
, por exemplo :
Então, a derivada é positiva após
.
Isso indica que
é um mínimo da função.
Passo 7
Vamos calcular o valor mínimo da função em
:
Então, o ponto mínimo da função é
.
Resposta
Analisamos a função
e descobrimos que:
- Domínio:
- Interceptos:
e - Ponto mínimo:
A função começa no ponto
, desce até o ponto mínimo em
e depois sobe, cruzando novamente o eixo
em
e aumentando indefinidamente para
maiores.