Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função onde . Esse exercício é de Análise de Funções, especificamente lidando com valor absoluto. Para resolver, a gente vai precisar entender como funciona o valor absoluto e como calcular limites, já que a função não está definida exatamente em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O símbolo significa que a gente pega a distância de um número até zero na reta numérica, então sempre vai ser um número positivo ou zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece com quando se aproxima de 4. Mesmo que não seja exatamente 4, a gente quer saber qual valor a função está chegando perto quando está chegando cada vez mais perto de 4.

Passo 4

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 4:
Substituindo por 4 na expressão dentro do valor absoluto:
Então, temos:

Passo 5

Isso significa que, independente de se aproximar de 4 por valores maiores ou menores, o valor de está chegando cada vez mais perto de 0.

Resposta

O limite de quando se aproxima de 4 é 0.

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Seja tal que . Mostre que é diferenciável em .