Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que a função é diferenciável em , dado que para todo real, . Vamos trabalhar com o conceito de derivada e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em se o limite que define a derivada em existe. Isso é dado por:
No nosso caso, queremos mostrar que é diferenciável em . Então, substituindo por 0, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar esse limite. Para simplificar, precisamos saber o valor de . Observando a desigualdade e substituindo , temos:
Então, a expressão da derivada fica:
Passo 4
Para encontrar esse limite, vamos utilizar a desigualdade dada:
Dividindo ambos os lados por (desde que ):
Passo 5
Agora, sabemos que:
E como , pelo Teorema do Confronto (ou Sandwich), temos que: