Seja tal que . Mostre que é diferenciável em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que a função é diferenciável em , dado que para todo real, . Vamos trabalhar com o conceito de derivada e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em se o limite que define a derivada em existe. Isso é dado por:
No nosso caso, queremos mostrar que é diferenciável em . Então, substituindo por 0, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar esse limite. Para simplificar, precisamos saber o valor de . Observando a desigualdade e substituindo , temos:
Então, a expressão da derivada fica:

Passo 4

Para encontrar esse limite, vamos utilizar a desigualdade dada:
Dividindo ambos os lados por (desde que ):

Passo 5

Agora, sabemos que:
E como , pelo Teorema do Confronto (ou Sandwich), temos que:

Resposta

Portanto, é diferenciável em e a derivada é .

Exercícios relacionados

Nos exercícios 18. a 21. use o gráfico da função para determinar os valores de em que a função é diferenciável e indique os valores de em que a derivada é (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.