Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão apresenta a função:
Vamos trabalhar com Álgebra, especificamente simplificação de expressões algébricas. Para resolver isso, vamos expandir o numerador, simplificar a fração e ver se conseguimos reduzir a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o numerador que está ao quadrado:
Para expandir isso, usamos a fórmula
.
Aplicando isso:
Passo 3
Agora que temos o numerador expandido, vamos reescrever a função com ele:
Queremos ver se conseguimos simplificar essa fração. Para isso, vamos tentar dividir o numerador pelo denominador.
Passo 4
Vamos realizar a divisão de polinômios:
Dividendo:
Divisor:
O primeiro termo do quociente será
porque
.
Multiplicando o divisor por
:
Subtraindo isso do dividendo:
Como o grau do novo polinômio (
) é menor que o grau do divisor (
), a divisão termina aqui.
Passo 5
Então, conseguimos expressar
como:
Essa é a forma simplificada da função. Não conseguimos reduzir mais a fração, já que o numerador não é múltiplo do denominador e não há fatores comuns que possamos cancelar.
Resposta
A função simplificada é:
Exercícios relacionados
Seja
tal que
. Mostre que
é diferenciável em
.
Nos exercícios 18. a 21. use o gráfico da função para determinar os valores de
em que a função é diferenciável e indique os valores de
em que a derivada é (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.