Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
. Nossa missão aqui é descobrir em qual valor de
essa função atinge o seu valor máximo. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial, mais especificamente derivadas.
Passo 2
Primeiro passo é encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos ajuda a entender como a função está crescendo ou diminuindo. Como
é o produto de
e
, vamos usar a regra do produto para derivar.
A regra do produto diz que se temos
, então:
Aqui, podemos identificar:
Agora, vamos derivar cada parte:
- A derivada de
: - A derivada de
: (porque a derivada de é )
Então, substituindo na regra do produto:
Passo 3
Agora, queremos encontrar onde a derivada é igual a zero, pois esses pontos podem ser máximos ou mínimos da função.
Vamos fatorar
que é um fator comum:
Sabemos que
nunca é zero, então podemos focar na outra parte:
Passo 4
Resolvendo a equação:
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Então, isolando
:
Passo 5
Para confirmar que
é um ponto de máximo, podemos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da derivada antes e depois desse ponto. Aqui, percebemos que antes de
, a função está crescendo, e depois está decrescendo, o que indica que
é realmente um ponto de máximo.
Resposta
O valor de
que faz a função
atingir seu valor máximo é
.
Exercícios relacionados
Encontre o limite. Use a Regra de l
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.