Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função . Nossa missão aqui é descobrir em qual valor de essa função atinge o seu valor máximo. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial, mais especificamente derivadas.

Passo 2

Primeiro passo é encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos ajuda a entender como a função está crescendo ou diminuindo. Como é o produto de e , vamos usar a regra do produto para derivar.
A regra do produto diz que se temos , então:
Aqui, podemos identificar:
Agora, vamos derivar cada parte:
  • A derivada de :
  • A derivada de : (porque a derivada de é )
Então, substituindo na regra do produto:

Passo 3

Agora, queremos encontrar onde a derivada é igual a zero, pois esses pontos podem ser máximos ou mínimos da função.
Vamos fatorar que é um fator comum:
Sabemos que nunca é zero, então podemos focar na outra parte:

Passo 4

Resolvendo a equação:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Então, isolando :

Passo 5

Para confirmar que é um ponto de máximo, podemos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da derivada antes e depois desse ponto. Aqui, percebemos que antes de , a função está crescendo, e depois está decrescendo, o que indica que é realmente um ponto de máximo.

Resposta

O valor de que faz a função atingir seu valor máximo é .

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