f(x) = tg(x) - 4x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve a função . O conteúdo aqui é de funções trigonométricas e equações não-lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções e se comportam e usar métodos numéricos para encontrar onde elas se igualam, ou seja, onde .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa resolver . Isso quer dizer que estamos procurando os valores de onde . Como essa é uma equação que não pode ser resolvida de forma exata usando álgebra, vamos precisar usar um método numérico para achar uma aproximação da solução.

Passo 3

Vamos usar o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Esse método começa com uma estimativa inicial e, através de iterações, vai se aproximando cada vez mais da solução real.

Passo 4

Para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos da derivada da nossa função . A derivada de é:
Isso porque a derivada de é e a derivada de é .

Passo 5

Escolhemos uma estimativa inicial próxima da raiz que queremos encontrar. Observando o gráfico das funções e , percebemos que uma solução está próxima de .

Passo 6

Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Substituindo nossos valores:
Calculando os valores:
Então:

Passo 7

Repetimos o processo com :
Calculando:
Então:

Resposta

A solução aproximada para a equação é .

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