Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando
se aproxima de 0 pela direita (
) da função
. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e limites.
Passo 2
Vamos começar transformando a expressão
usando logaritmos, porque isso facilita a manipulação de expoentes complicados. Seja
. Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos:
Isso nos ajuda a focar no limite de
em vez de
diretamente.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende a 0 pela direita:
Sabemos que
tende a
quando
se aproxima de 0, e
tende a 0. Então, temos uma forma indeterminada do tipo
, que podemos resolver reescrevendo a expressão.
Passo 4
Vamos reescrever
de uma maneira que nos permita aplicar a regra de L’Hôpital. Podemos fazer isso dividindo
por
:
Agora, temos uma forma
, que ainda é indeterminada, mas agora podemos aplicar a regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador.
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Simplificando, temos
.
Passo 6
Então, chegamos a:
Para encontrar o limite de
, lembramos que se
tende a 0, então
tende a
.
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine os valores máximo e mínimo locais e globais de
nos seus respectivos intervalos.