Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ) da função . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e limites.

Passo 2

Vamos começar transformando a expressão usando logaritmos, porque isso facilita a manipulação de expoentes complicados. Seja . Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos:
Isso nos ajuda a focar no limite de em vez de diretamente.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite de quando tende a 0 pela direita:
Sabemos que tende a quando se aproxima de 0, e tende a 0. Então, temos uma forma indeterminada do tipo , que podemos resolver reescrevendo a expressão.

Passo 4

Vamos reescrever de uma maneira que nos permita aplicar a regra de L’Hôpital. Podemos fazer isso dividindo por :
Agora, temos uma forma , que ainda é indeterminada, mas agora podemos aplicar a regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a :
Simplificando, temos .

Passo 6

Então, chegamos a:
Para encontrar o limite de , lembramos que se tende a 0, então tende a .

Resposta

O limite é igual a .

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, com domínio