lim x 0^+ x^x^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ) da função . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e limites.

Passo 2

Vamos começar transformando a expressão ln(y) = x^2 cdot ln(x) usando logaritmos, porque isso facilita a manipulação de expoentes complicados. Seja . Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos:
Isso nos ajuda a focar no limite de em vez de diretamente.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite de limx to 0^+ x^2 cdot ln(x) quando tende a 0 pela direita:
Sabemos que tende a quando se aproxima de 0, e tende a 0. Então, temos uma forma indeterminada do tipo , que podemos resolver reescrevendo a expressão.

Passo 4

Vamos reescrever limx to 0^+ ln(x)1x^2 de uma maneira que nos permita aplicar a regra de L’Hôpital. Podemos fazer isso dividindo por :
Agora, temos uma forma , que ainda é indeterminada, mas agora podemos aplicar a regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a limx to 0^+ ddx[ln(x)]ddx[1x^2] = limx to 0^+ 1x-2x^3 = limx to 0^+ -x^22 :
Simplificando, temos .

Passo 6

Então, chegamos a:
limx to 0^+ ln(y) = 0
Para encontrar o limite de , lembramos que se tende a 0, então tende a .

Resposta

O limite é igual a .

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